泰勒公式例题.pdf

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2! n!
称此式为 (带有拉格朗日余项的 )麦克劳林公式 .
常见函数的展开式：
2 n x
x x x e n 1
e 1 x x .
2! n! (n 1)!
3 5 2 n 1
x x n x 2n 2
sin x x ( 1) o(x ) .
3! 5! (2n 1)!
x 2 x4 x 6 x2 n
cos x 1 ( 1)n o(x 2n ) .
2! 4! 6! (2n)!
2 3 n 1
x x n x n 1
ln(1 x) x ( 1) o(x ) .
2 3 n 1
1 2 n n
1 x x x o( x )
1 x
m m(m 1) 2
(1 x) 1 mx x .
2!
[3 ]
定理 (介值定理 ) 设函数 f 在闭区间 [ a, b] 上连续 ,且 f (a) f (b) ,
若 0 为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任何实数 ,则至少存在一点 x 0 (a,b) ,使得f ( x0 ) 0 .
3 泰勒公式的应用
利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算 ,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项 ,使得原来函数的
极限转化为类似多项式有理式的极限 ,就能简捷地求出 .
x2
cos x e 2
例 求极限 lim 4 .
x 0 x
x 2
0
分析： 此为 型极限 ,若用罗比达法求解，则很麻烦 ,这时可将 cosx 和 e 2 分
0
别用泰勒展开式代替 ,则可简化此比式 .