概率论与数理统计公式大全.docx

第1章随机事件及其概率
(6)事件的关系与运算
结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC
分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)
QOQO
IAi=YAi
德摩根率：i
f(x)5
0(x)dx=1
J。
(3)离散与连续型随机变量的关系
P(X=x)定P(x<XWx+dx)-f(x)dx
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X-xk)一pk在离散型随机变量理
论中所起的作用相类似。
(4)分布函数
设X为随机变量，x是任意实数，则函数
F(x)=P(X<x)
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a<XWb)=F(b)—F(a)可以得到X落入区间(a,b］的概率。分布函数F(x)表示随
机变量落入区间(-8,x］内的概率。
分布函数具有如下性质：
1°0<F(x)<1,_g<x<+2；
2F(x)是单调/、减的函数，即xi<x2时，有F(xi)MF(x2)；
3F(—g)=%F(x)=0,F(+oc)=Jim^F(x)=1；
F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的；
P(X=x)=F(x)-F(x-0)。
对于离散型随机变量，F(x)=£Pk；
xk主
x
对于连续型随机变量，F(x)=1ff(x)dx。
6
⑸八大分布
0-1
分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
二项分布
在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设
为X,则X可能取值为0,1,2八，n。
P(X=k)=Pn(k)=C：pkqi,其中q=1—p,0<p<1,k=0,1,2,A,n,
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为X~B(n,p)。

当n=1时，P(X=k)=pq,k=,这就是(0-1)分布，所以(0-1)分布
是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量X的分布律为
k_
P(X=k)=e*,九>0,k=0,1,2A,k!
则称随机变量X服从参数为九的泊松分布，记为X~n(£)或者P(九)。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n-8)。
几何分布
均匀分布
k1
P(X=k)=q—p,k=1,2,3,A,其中p>0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数f(x)在［a,b］上为常数,即b-a
f(x)=」b-a
0,
a<x<b
其他，
则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U(a,b)。
分布函数为
0,x<a,
x-a
bb-aa<x<b
x
F(x)=Jf(x)dx=
L1,x>b。
当aWx1<x2Wb时，X落在区间(x1,x2)内的概率为
x2一x1
P(x1<X<x2)——1。
b-a
指数分布
f(x)=v
o0,
x-0
x::0
其中九A0,则称随机变量X服从参数为九的指数分布。
X的分布函数为
-1-e「
F(x)=［蛀住积分公式:
-be
x-0
x<0。
xne^dx=n!
正态分布
设随机变量X的密度函数为
1(x*2
f(x)=-^^eF^,一yv'2ncr
其中N、仃A0为常数，则称随后
)<x<+8,
几艾量X服从参数为、"的正态分布或图斯
2
(Gauss)分布，记为X~N("尸
)。
f(x)具有如下性质：
。f(x)的图形是关
当x=N时，f
…2
若X~N(1,。L而
2\2
于x—"对称的；
-…
(N)为最大值；
J2n仃
二X2的分布函数为ddt
oo
的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1),其密度函数
<x<十的,
F(x)一hee42gq
参数N=0、仃=1时
记为1工
中(x)=Je2
J2n,
分布函数为xt2
1、
力/S—ra2
。所石Le
①(x)是/、可求积函数，
①(-x)=1-①(x)且①(C如果X~N(地仃2),P(x1<X<x2)=中
UL
其函数值，已绵
))=-O
《J
贝UN
fx
E1
6制成表可供查用。
(0,1)。
JT
离散型
已知X的分布
X
例为
x1,x2,
1仃1
L,xn,L
1仃J
P(X=】Y=g(X)
Y
xi)
机
g
P1,P2,L,pn,L'
》布列(yi=g(x。互/、相等)如下：
(x1),g(x2),L,g(xn),L
P(Y=x)
若有某些g
,P1,一p2」,L，，jpn,