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求值域方法
一(观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+?(2,3x) 的值域。
点拨:根据算术平方根的性质，先求出?(2,3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质，知?(2,3区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)?0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解:?3x2+x+1,0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3?0同解，解之得,1?x?3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1?x?3/2),
?z=-(x-2)2+4且x?[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=,5;当x=3/2时，z=15/4。
?函数z的值域为,z?,5?z?15/4,。
点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习:若?x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 ( ) A((,?，，?) B([,7，，?] C([0，，?) D([,5，，?)(答案:D)。
六(图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=?x+1?+?(x-2)2 的值域。
点拨:根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解:原函数化为 ,2x+1 (x?1)
y= 3 (-1<x?2)
2x-1(x>2)显然函数值y?3,所以，函数值域[3，，?]。
点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七(单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x,?1-3x(x?1/3)的值域。
点拨:由已知的函数是复合函数，即g(x)= ,?1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x?1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解:设f(x)=4x,g(x)= ,?1-3x ,(x?1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x,?1-3x
在定义域为x?1/3上也为增函数，而且y?f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求
的函数值域为,y|y?4/3,。
点评:利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习:求函数y=3+?4-x 的值域。(答案:,y|y?3,)
八(换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+?2x+1 的值域。
点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，