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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
(一)向量及其线性运算
向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
线性运算：加减法、数乘；
空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、利用坐标
LiL2
m1 m2n1n2p1 p20
L1//L2
m1n1p1
m2n2p2
5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,
sin
Am Bn Cp
L// Am Bn Cp 0
ABC
L m n p
第九章多元函数微分法及其应用
(一)基本概念
距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集
多元函数：Z f (x, y) ,图形：
3、极限：, pm 、f(x，y) A (x,y) (Xo，yo)
4、连续：limi 、f(x，y) f (Xo,yo) (x,y) (xo,yo)
偏导数：
f (xox, yo) f (xo, yo)
fx (xo, yo)lim
x ox
fy(xo,yo)lim f(xo,yoy) f(xo,yo)
yy oy
方向导数：
_f
lcoscos其中，为l的方向角。
fy(xo,yo)j
xy
梯度：z f (x, y),则 gradf (xo,yo)fx(x0,yo)i
8、 全微分：设Z
(二)性质
f(x,y),则 dz 1战
-Zdy
y
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:
闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)
微分法
1)定义：u
复合函数求导：链式法则Z
若 z f(u,v),u u(x, y),v v(x, y),则
zzuzvzzuzv
x u x v x y u y v y
隐函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)
(三)应用
极值
无条件极值：求函数 z f (x, y)的极值
fx 0
x
解方程组
fy
求出所有驻点，对于每一个驻点
(x0, y0)，令
A fxx(xo,y0),B fxy(xo,y°),C fyy(xo,y。)，
2
①右AC B 0 , A 0,函数有极小值，
2
若AC B 0 , A 0,函数有极大值；
②若AC B20 ,函数没有极值；
③若AC B20,不定。
令：L(x, y) f(x, y)
Lx 0
(x,y)
Lagrange 函数
x
解方程组
Ly 0
(x,y) 0
几何应用
曲线的切线与法平面
x x(t)
曲线: y y(t),则上一点M (x0,y0,z0)(对应参数为t0)处的 z z(t)
切线方程为:
x x0
x(to)
y Vo
y (to)
z Zo
Z(to)
法平面方程为：x (to)( x
2)曲面的切平面与法线
xo)
y(to)(yy°) z (to)(z Zo) o
曲面：F (x, y, z)
上一点M (x°,y0,Zo)处的切平面方程为:
Fx(x。，yo,zo)(x xo) Fy(xo,yo,zo)(y
yo) Fz(xo,yo,zo)(z zo)
法线方程为:
x x0
Fx (xo，yo，z。)
y yoz z。
Fy(xo，yo，z。) Fz(xo，yo，zo)
第十章重积分
(一)二重积分
1、定义：f(x，y)d
D
性质：(6条)
几何意义：曲顶柱体的体积。
计算：
1)直角坐标
lim
o
(x,y)
1(x) y
2(x)
f( k, k)
2)
f (x, y)dxdy
(x,y)
i(y)
c
f (x, y)dxdy
极坐标
1()
f (x, y)dxdy
D
(二)
三重积分
1、
定义:
b
dx
a
2(x)
(X)f(x,y)dy
1(x)
2(y)
d ，
d
cdy
2(y)
1(y)
2()
()
)f(
cos , sin ) d
f (x, y,z)dv
lim
0
n
f ( k, k , k) vk k 1
1)
性质：
计算：
直角坐标
f (x, y, z)dv
Ddxdy
z2(x,y)