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年月阴山学刊.
第卷第期. .
单因素方差分析的数学模型及其应用
田兵
包头师范学院《阴山学刊》编辑部,内蒙古包头
摘要:本文主要介绍了单因素方差分析的数学模型。同时结合实例演示了利用单因素方差分析通过
软件编程解决实际问题的过程。
关键词:单因素方差分析;模型;平方和分解;检验统计量
中图分类号:. 文献标识码: 文章编号:—一
在日常的工作和生活中,影响一件事的因素有很多,人们希望根据各种实验来判断不同的因素对实验结
果的影响。例如:不同的生产厂家、不同的原材料、不同的操作规程及不同的技术指标等对产品的质量、性能
都会有影响,然而不同因素的影响大小不等。方差分析是研究一种或多种因素的变化对实验结果的观测值
是否有显著影响,从而找出较优的试验条件或生产条件的一种常用数理统计的方法。
在实验中所关注的数量指标如产量、性能等称为观测值。影响观测值的条件称为因素。因素的不同状
态称为水平,一个因素可以采用多个水平。在一项试验中,可以得到一系列不同的观测值。引起观测值不同
的原因是多方面的。有的是因为处理方式不同或条件不同引起的,称作因素效应;有的是实验过程中偶然性
因素的干扰或观测误差所导致的,称作试验误差。
方差分析的主要工作是将测量数据的总变异按照变异原因的不同分解为因素效应和试验误差,并对其
作出数量分析,比较各种原因在总变异中所占的重要程度,作为统计推断的依据,由此确定进一步的工作方
向
在研究实际问题时,我们通常是从最简单的情形人手。单因素方差分析是方差分析的最简单情形——
影响其因素只有一个。
单因素方差分析的数学模型
通常假设试验只有一个因素在发生变化,其余的因素没有变化。有个水平⋯,,,在水平下
进行凡次独立观测,得到试验指标如表所示。
表:单因素方差分析数据
其中表示在因素的第个水平下的第次试验的试验结果。
收稿日期:——
作者简介:田兵一,男,山西五台人,硕士,研究方向:数理统计。
将水平下的试验结果⋯, 看作是来自第正态总体置一/, 的样本观测值,其中,
都是未知的。而且对于每个总体置是相互独立的,考虑线性统计模型
』占,,,⋯,,,⋯凡,
【—,。且相互独立,
其中是第个总体的均值,是相应的试验误差。
比较因素的个水平的差异归结为比较这总体的均值。即检验假设
风:/⋯/,,:,,⋯, 不全相等。
记
,

/., , /.一
这里表示总和的均值,为水平所对应指标的效应。因此有∑/.
上述模型又可以等价的写成
,,,,⋯,,., ,,⋯,,
~,且相互独立,
【,
∑.
称模型为单因素方差分析的数学模型,其是一种线性模型。
方差分析
假设式等价于
风:⋯,,:,,⋯,,不全为零。
如果风被拒绝,那么就说明因素的个水平的效应之间有显著的差异;否则,差异不明显。
为了导出的检验统计量,方差分析法建立在平方和分解和自由度分解的基础上,考察统计量

,∑∑一,÷∑∑
‘’‘,
称,为总离差平方和或称为总变差,其实全部试验数据与总平均值差的平方和,描述了所有观测数据
的离散程度,可以证明如下的平方和分解公式: