二次函数知识点总结.docx

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二次函数知识点
一、二次函数概念：
1•二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)的函数，叫
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画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
六、二次函数y=ax2+bx+c的性质
>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-2，顶点坐标为［-2-，4°；一b
2a(2a4a丿
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bbb4ac-b2
当x<-■时，y随x的增大而减小；当x>-时，y随x的增大而增大；当x=-时，y有最小值-
2a2a2a4a
<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=
b
2a
顶点坐标为
b4ac-b2、
,
2a4a,
b
当x<-时，y随x的增大而增大；当
2a
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bb4ac-b2
x>-时，y随x的增大而减小；当x=-时，y有最大值
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a丰0)；
顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a丰0)；
两根式：y=a(x—x)(x—x)(a丰0，x，x是抛物线与x轴两交点的横坐标).
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注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即
b2-4ac工0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
二次项系数a
二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a丰0.
⑴当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大;⑵当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，bl的大小决定开口的大小.
一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a>0的前提下，
b
当b>0时，-亍<0，即抛物线的对称轴在y轴左侧;2a
b
当b=0时，—丁=0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a
b
当b<0时，-亍〉0，即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a
⑵在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当b>0时，-亍〉0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
2a
b
当b=0时，—亍=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
b
当b<0时，-丁<0，即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.
b
ab的符号的判定：对称轴x=-在y轴左边则ab>0，在y轴的右侧则ab<0，概括的说就是“左同右异”
2a
总结：

⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.
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总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式,
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才能使解题简便•一般来说，有如下几种情况：
已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；
已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
已知抛物线上纵