圆的极坐标方程.docx

圆的极坐标方程
.曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程
f（p,e）=0,并且坐标适合方程f（p,e）=0的点都在曲线C上，那么方程f（p,e）=0叫做曲线c的极坐标方程.
.x=1.
化简，得3x2+4y2-2x-1=0.
在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0We<2兀范围内
求值.
(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简.
(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用p去乘方程的
两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.
.
1)y=*x；(2)x2-y2=1.
解：(1)将x=pcos0,y=psin0代入y=>/3x得psin8=43pcos0,从而
化简，得
21
「cos29.
(2)将x=pcos0,y=psine代入x2-y2=1,得p2cos20—p2sin20=1,
.把下列极坐标方程化为直角坐标方程.
p2cos20=1;
一一八兀
p=2cos0--.
解：(1)因为p2cos20=1,
所以p2cos20-p2sin20=1.
所以化为直角坐标方程为x2-y2=1.
-—.21—
(2)因为p=2cos0cos—+2sin0sin—=^cos0+^2sin0,所以p="
pcos8+，2psin0.
所以化为直角坐标方程为x2+y2—，2x—J2y=0.
求相关动点的极坐标方程
例3)从极点O作圆C：p=2acos0的任意一条弦ON求各弦的中点M的极坐标方程.
［解］法一：如图所示，圆C的圆心qa,0),半径r=|OC=a,
因为M为弦ON的中点，连接CM
所以CMLON故M在以。的直径的圆上，
所以动点M的极坐标方程是p=acos9.
因为
所以
因为
所以
法二：设MP,0),NP1,81).
N点在圆p=2acos0上，
p1=2acos01.①
M是ON勺中点，
P1=2p,
91=9.
将它代入①式得2p=2acos0,故M的极坐标方程是p=acos0.
将本例中所求得的中点M的极坐标方程化为直角坐标方程.
2
解：因为p=acos0,所以p=a-pcos0,
所以x2+y2=ax,
所以中点M的直角坐标方程为x2+y2—ax=0.
本例所涉及的问题有相关的两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，求另一个动点
，代入化简即可.
踪训练从极点O弓I定圆p=2cos0的弦OP延长OP到Q使祟|,求点Q的
PQ3
极坐标方程，并说明所求的轨迹是什么图形?
解：设Qp,9),P(p0,80),贝U8=80,
=2,所以P0=|p,因为p—p035
它表不一■个圆.
=：p=2cos8,即p=5cos5
.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一",即（p,8）,（P,2ti+8）,（—p,兀+e）,（—p,—兀+e）都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，
,,.,一，，、，、兀兀，、
如对于极坐标方程p=8,点M—,—可以表不为—,—+2%或—,—■—2%或
—1,等多种形式，其中，只有—,—的极坐标满足方程p=0.
.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化
与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，（含直线）的极坐标方程
与直角坐标方程也可以进行互相转化.
.求曲线的极坐标方程
，较复杂曲线的极坐标方程可以先求直角坐标方程，然后再转化.
.极坐标方程表示的曲线形状的判断方法
极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化为直角坐标方程后再分析形状.
.极坐标方程p=1表木（）


解析：=1,所以p2=i,所以x?+y2=.
.极坐标方程p=asin0（a>0）所表示的曲线的图形是（）
设MP,0）是圆上任意一点，则/ONMZMOx=0,
在Rt