线性回归分析法.docx

一元线性回归分析和多元线性回归分析
一元线性回归分析
简单介绍
当只有一个自变量时，称为一元回归分析（研究因变量y和自变量x之间的相关关系）；当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析（研究因变量y和自变量x，x,…，x之间的相关关系a的具体表达形式为
01
xx
2-9)
a=y-xS/S
0xyxx
a=s/s
1xy'xx
求出参数*与*以后，就可以得到一元线性回归模型
01
AAA
y=a+ax
01
2-10)
由此，只要给定了一个x值，就可以根据回归模型求得一个yA作为实际值y的iii预测值。
精度分析
对于给定的x,根据回归模型就可以求出y的预测值。但是用9来预测y的
iii精度如何，产生的误差有多大是我们所关心的。这里采用测量上常用的精度指标来度量回归方程的可靠性。一个回归模型的精度或剩余标准离差定义式为
i=1
2-11)
由于参数的个数是2,观测值总数是n，多余观测是(n-2)，因此式中分母是
(n-2)。运用估计平均误差可以对回归方程的预测结果进行区间估计。若观察值
围绕回归直线服从正态分布，且方差相等，则有%的点落在土&的范围内，有%的点落在土2(A的范围内，有％的点落在土的范围内。
1
2
+nx
x
-x
根据参数平差理论可知，aA的协因数矩阵为
Q
AA
aa
2-12)
从而，aA的方差估值为
2-13)
22
AA
0
A
a0
1x2、
—+
nS
\xx丿
0S
xx
线性回归效果的显著性检验
对一元线性回归模型的统计检验包括两个内容：一是线性回归方程的显著性检验；二是对回归系数进行统计推断。
在一元线性回归分析中，线性回归效果的好坏取决于y与x的线性关系是否密切。若IaI越大，y随x的变化趋势就越明显；若IaI越小，y随x的变化趋势
11
就越不明显。特别的，当a=0时，意味着y与x之间不存在线性相关关系，所
1
建立的线性回归方程没有意义。所以，只有当a0时，y与x之间才有线性相
1
关关系，所建立的线性回归方程才有实际意义。因此，对线性回归效果好坏的检
验，就归结为对统计假设H:a二0;H:a丰0的检验。若拒绝H，就认为线性回01110
归有意义；若不能拒绝H，就认为线性回归无意义。下面介绍两种检验方法：F
0
检验法和相关系数检验法。

进行F检验的关键在于确定一个合适的统计量及其所服从的分布。当原假设成立时，根据F分布的定义可知
y(a-丫
-y-yI(、
F二丄<〜F(1,n-2丿
习叮yj/(n-2)
i=1
(2-14)
当给定显著性水平a二或，由F分布分位数值表得临界值F(1,n-2)，由样
1-a
本观测值计算出统计量F的实测值。若F>F(1,n-2),则以显著水平a拒绝H；
1-a0
若F<F(1,n-2)则以显著水平a接受H。一般按下述标准判断。
1-a0
若F>F(1,n-2),则认为线性回归方程效果极显著。

若F<FG,n-2),则认为线性回归效果不显著。


相关系数检验法是通过y与x之间的相关系数对回归方程的显著性进行检
nn
验的，由样本观测值，即(x,y)(x,y),A,(x,y)，可以得到相关系数的实测值
S工（-x）（-亍）
Sii
ii
i=1i=1
r=xy——=
SS
xxyy
2-15)
相关系数0<r<1，现作如下进一步分析。
1）
a，表
0
当r=0时，S=0，因而a=0，此时线性回归方程y=a+ax-
xy101
明y与x之间不存在线性相关关系。
当0<1r1<1时，y与x之间存在一定的线性相关关系，当r>0时，a>0，
1
此时称y与x正相关；当r<0时，a<0，此时称y与x负相关；当IrI越
1
接近于0时，此时y与x的线性关系越微弱；当IrI越接近于1时，此时y与x的线性关系越强。
当IrI=1时，y与x完全线性相关，表明y与x之间存在确定的线性函数
关系；当r=1时，称y与x正相关；当r=-1时，称y与x负相关。当给定显著性水平a二或，由
P(rI<r(n一2))=1-a
1-a
(2-16)
来判断线性回归方程的效果。若本观测值算出的相关关系实测值r>r(n-2)，
1-a
则以显著性水平的关系a拒绝H；若r<r(n-2),则以显著性水平的关系接受。
01-a
一般按下述标准判断。
若r>r(n-2),则认为线性回归方程效果极显著。

若r(n-2)<r<r(n-2)，则认为线性回归方程效果显著。