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导数解题技巧
导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势：
导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用．
【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌法.
[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.
（Ⅱ），令，得.
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，函数在处取得极小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此，函数处取得极小值，且
若，，的极小值不会大于零.
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.
（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组
或
由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以的取值范围是.
例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数的定义域为，且
（1）当时，函数在上单调递减，
（2）当时，由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
例12．（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,
故在上递增，在上递减，
因此在处取得极大值，所以
（Ⅱ）
由
得
解得
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设
又
所以
由即得
所以
例13．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，
由于 所以只须仅须且，（0，）.
例14 （2004年天津卷）已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（1）讨论f（1）和