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高等数学上册知识点
二函数与极限
(一)函数
1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；
2、反函数、复合函数、函数的运算；
3、初等函数：募函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数；
大值点；②若当x x0 时，f (x) 0,当x X0时，f (x) 0 ,则x0为极小值点；③若在x0的 两侧f (x)不变号，则x0不是极值点.
c)第二充分条件：f (x)在x0处二阶可导，且f (x0) 0, f (x0) 0,则 ①若f (x0) 0,则x0为极大值点；②若f (x0) 0,则x0为极小值点.
3、凹凸性及其判断，拐点
.x1 x2f(x1) f(x2)
1) f(x)在区间I上连续，若 xi,x2 I, f(［-)'，2 ' ，则称f (x)在
区间I上的图形是凹的；若xi,x2 I, f(\^2) f(x1)2 f(X2),则称f(x)在 区间I上的图形是凸的.
2)判定定理：f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则
a)若x (a,b), f (x) 0,则f (x)在［a,b］上的图形是凹的;
b)若x (a,b), f (x) 0,则f(x)在［a,b］上的图形是凸的.
3)拐点：设y f(x)在区间I上连续，x°是f(x)的内点，如果曲线y f(x)经
过点（X。，f（X。））时，曲线的凹凸性改变了，则称点（X。，f（X。））为曲线的拐点
.
（五）不等式证明
利用微分中值定理；
利用函数单调性；
利用极值（最值）.
（六）方程根的讨论
连续函数的介值定理；
Rolle 定理；
函数的单调性；
极值、最值；
5、凹凸性.
（七）渐近线
1、铅直渐近线：lim f（x） ，则x a为一条铅直渐近线； x a
2、水平渐近线：lim f（x） b,则y b为一条水平渐近线； X
f （x）,
3、斜渐近线：!imk lim[f（x） kx] b存在，则y kx b为一条斜 x x x
渐近线.
（八）图形描绘
四、不定积分
（一）概念和性质
原函数：在区间I上，若函数F（x）可导，且F （x） f（x）,则F（x）称为
f （x）的一个原函数.
不定积分：在区间I上，函数f (x)的带有任意常数的原函数称为f (x)在区 间I上的不定积分.
基本积分表(P188, 13个公式)；
性质(线性性).
(二)换元积分法
1、第一类换元法(凑微分)：f[ (x)] (x)dx f(u)du u (x)
2、第二类换元法(变量代换)：f(x)dx“⑴]⑴dt t %)
(x)
(三)分部积分法：udv uv vdu
(四)有理函数积分
1、“拆”；
2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).
概念与性质:
(一)
五、定积分
b
定义：af(x)dx
1、
n
lim0f( i) xi
性质：(7条)
2、
0 i 1
7 (积分中值定理)
性质
函数f (x)在区间[a,b]上连续，则 [a,b],使
b
f(x)dx
f (x)dx f ( )(b a)(平均值：f( ) ^7)
b a
（二）微积分基本公式（N — L公式）
x
1、变上限积分：设(x) a f⑴dt,则(x) f(x)
d (x)
推广：7 ,、f(t)dt f[ (x)] (x) f[ (x)] (x) dx (x)
F(b) F(a)
b
2、 N —L公式：若F（x）为f （x）的一个原函数，则a f （x）dx
（三）换元法和分部积分
b
1、换元法：a f (x)dx f[ (t)] (t)dt
b b b
2、分部积分法：a udv uv aa Vdu
aa
(四)反常积分
无穷积分： t f (x)dx lim f (x)dx at a
bb
f (x)dx lim t f (x)dx
0
f(x)dx f(x)dx ° f (x)dx
瑕积分：
bb
f(x)dx lim f(x)dx (a 为瑕点)
atat
f(x)dx
t
t叫af(x)dx (b为瑕点)
两个重要的反常积分:
, p 1
dx
_i p
1) a yP a pd
1) x—7， P 1
P 1
b dx
b dx
2)
a (x a)q
a (b x)q
(b a)1q
i q
六、定积分的应用
（一）平面图形的面积
b
1、直角坐标：A[f2（x） fi（x）]dx
a
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