高数重要知识点.docx

高等数学上册重要知识点
第一章函数与极限

1两个无穷小的比较
设 lim f (x) =0,lim g(x) =0且 iim Ux). =l g(x)
l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[)如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)必在［a,b］上有界。
定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则在这个区间上一定存在最大 值M和最小值m。
定理3.(介值定理)如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且其最大值和最小值分别为 M和m,则对 于介于m和M之间的任何实数c,在［a,b］上至少存在一个 七,使得f(己—c
推论：如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点 七,
使得f(己)=0这个推论也称为零点定理
第二章导数与微分
.复合函数运算法则
设y=f(u), u=?(x),如果？(x)在x处可导，f( u)在对应点u处可导，则复合函数y=f［?( x)］在x处可导，
且有 dy =dy du = f'( (x)) ‛(x)
dx du dx
对应地dy = f'(u)du = f'(6(x))0'(x)dx ,由于公式dy = f'(u)du不管u是自变量或中间变量都成立。因
此称为一阶微分形式不变性。
.由参数方程确定函数的运算法则
设x=?(t) , y=^(t)确定函数 y=y(x),其中 4'(t)*(t)存在，且 *'(t)^0,则 电二孚1 dx '(t)
二阶导数
.反函数求导法则
设y=f(x)的反函数x=g(y),两者皆可导，且f' (x) w0
则 g'(y)
f'(x)
1
f'(g(y))
(f'(x) =0)
4隐函数运算法则(可以按照复合函数理解)
设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定，求y'的方法如下：
把F(x,y)=0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出v的
表达式(允许出现y变量)
5对数求导法则(指数类型如y=xsinx)
先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数 y'。
对数求导法主要用于：①幕指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数(注意定义域P10第J6)
关于幕指函数y=［f(x)］ g(x)常用的一种方法，y=eg(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
6可微与可导的关系
f(x)在x0处可微？f(x)在x0处可导。
7求n阶导数(n之，正整数)
先求出y' ,y'',……，总结出规律性，然后写出y(n),最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数 的n阶导数公式
y =sin x , y(n) =sin(x + 史)
2
y =cosx, y(n) =cos(x + 空)
2
(5) y =ln x, y⑺=(_i)n」(n —l)!x」
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第三章微分中值定理与导数应用
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一罗尔定理
设函数f( x)满足
(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f(a尸f(b)
则存在E € (a,b