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资阳一诊文科数学
资阳市高中2013级第一次诊断性考试
数 学（文史类）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ的销量（万件）与甲所确定的零售价成一次函数关系：当零售价为80元/件时，销量为7万件；当零售价为50元/件时，销量为10万件．后来，厂家充分听取了甲的意见，决定对批发价改革，将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分，其中固定批发价为30元/件，弹性批发价与该特产的销量成反比．当销量为10万件，弹性批发价为1元/件．假设不计其它成本，据此回答下列问题．
(Ⅰ) 当甲将每件产品的零售价确定为100元/件时，他获得的总利润为多少万元？
(Ⅱ) 当甲将每件产品的零售价确定为多少时，每件产品的利润最大
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝lnx－x，g(x)＝ax2－ax (其中)，令h(x)＝f(x)－g(x)．
(Ⅰ) 当a＞0时，求函数y＝h(x)的单调区间；
(Ⅱ) 当a＜0时，若f(x)＜g(x)在上恒成立，求a的最小整数值．
请考生在22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。
22．(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，使得．
(Ⅰ) 求证：QA为⊙O的切线；
(Ⅱ) 若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度．
23．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．
(Ⅰ) 写出直线l和曲线C的普通方程；
(Ⅱ) 已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．
24．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲
已知函数．
(Ⅰ) 当时，解不等式；
(Ⅱ) 若关于x的不等式的解集为，求证：．
资阳市高中2013级第一次诊断性考试
数学参考答案及评分意见（文史类）
一、选择题

二、填空题
13．–6；14．3；15．10；16．．
三、解答题
17．（Ⅰ）由，解得1<x<3， 2分
由，解得2<x<4， 4分
所以该不等式组的解集为{x|2<x<3}， 6分
（Ⅱ）因为p是q的充分条件，
所以2<x<3使关于x的不等式恒成立，
即{ x |2<x<3}，(*) 8分
（1）当1≥12－a，即a≥11时，不等式的解为，不满足(*)，
（2）当1＜12－a，即a＜11时，不等式的解为，
于是有，解得a≤9，
故a的范围是（－∞，9]. 12分
18．由题知f(x)=ab=
＝
＝
＝2sin(2x－)． 4分
(Ⅰ) 由，得，其中，
所以单调递增区间为其中． 6分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知f(x)= 2sin(2x－)．
列表得
x
0
π
0
π
0
2
0
－2
8分
通过描点、连线得
12分
19．（I）由，可得S1＝2a1－1，即a1＝1， 1分
又，
相减得 即 2分
所以，
故{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到an＋1＝，所以 7分
于是bn＝＝n＋n()＝n×， 8分
Tn＝，
2Tn=，
相减整理得－Tn＝，
所以Tn＝． 12分
20．设销量y与零售价x的一次函数关系为y=kx＋b；弹性批发价与销量y的反比例函数关系为，
由解得于是y=15－，
由得a=10，于是． 4分
（Ⅰ）当零售价为100元/件时，销量为15－×100=5（万件），此时的批发价为30＋=32（元/件），他获得的总利润为5×(100－32)=340（万元）． 6分
（Ⅱ）设每一件的利润为d，
则
， 8分
而由可得0<x<150，
于是，
当且仅当，即x=140时取“=”． 12分
21．由题h(x)＝lnx－ax2＋(a－1)x，且x＞0，
则，
（Ⅰ）当a＞0时，＜0，由得0<x<1，得x>1，
所以单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 4分
（Ⅱ）由题知f(x)＜g(x)在x∈(0，－a)上恒成立，即h(x)= f(x)－g(x)＜0在x∈(0，－a)上恒成立．
由得，x2=1，
（1）