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导数
1、导数的背景:(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。如一物体的运动方
程是sBlBtBt2,其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在tB3时的瞬时速度为
(答：5米/秒)
2、导函数的概念：如果函数f(x)在开极大值00
近所有的点，都有f(x)f(x)，就说是f(x)函数f(x)的一个极小值。记作y二
00极小值
f(x)。极大值和极小值统称为极值。
0
求函数yf(x)在某个区间上的极值的步骤:(i)求导数f)；(i求方程
f輸)・0的根x；()检查f執)在方程f載)・0的根x的左右的符号：“左正右负”
00
f(x)在x处取极大值；“左负右正”f(x)在x处取极小值。特别提醒：1)x0是
极值点的充要条件是x点两侧导数异号，而不仅是f・0f!是x为极值点
0000
的必要而不充分条件。2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f・0，又要考
虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如
(1)函数y(x2・1)3・1的极值点是A、极大值点xB、极大值点x0C、极小值点x0D、极小值点x・1(答：C)；2)已知函数f(x)x3ax2(a・6)x・1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(答：a・6或a>)；3)函数
答：
fx3ax2bx・a在x处有极小值10,则a+b的值为(答：一)；4)已
知函数f(x)x3bx2cxd在区间［—1,2］上是减函数，那么b+c有最—值—
大，
8、函数的最大值和最小值：
(1)00：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点
值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
2)000yf(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数yf(x)在
(a,b)内的极值(极大值或极小值)(2)将yf(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其
中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。叮1)函数y・2x3・3x2・12x・5在［0,3］上的最大值、最小值分别是(答：5；・15)；(2)
长方体容器的框架，。那么高为多少时容器
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的容积最大？并求出它的最大容积。(答：，容积最大为5ccm3)
特别注意：(1)利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时，要注意列表！(2)要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。如(1)f斷)是f(x)的导函数，f斷)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是(答：D)
y
b
a
O
(2)方程X3・6x2・9x0的实根的个数为(答:D、)；(3)已知函数
f(X)x3ax2x，抛物线C:x2y，当x(1,2)时，函数f(x)的图象在抛物线C:x2y的上方，求a的取值范围(答：a)。
练习
1已知函数f(x)在x・1处的导数为3,贝f(x)的解析式可能为()
(x)(x・1)2・3(x・1)(x)2(x・1)
(x)2(x・1)(x)x・1(04湖