36.阿波罗尼斯圆.doc

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我们知道：平面内到两定点的距离之和为定值（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆，到两定点的距离之差的绝对值为定值（小于两定点的距离）的点的轨迹是双曲线．那么，到两定点的距离之比（商）为定值的点的轨迹是什么
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我们知道：平面内到两定点的距离之和为定值（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆，到两定点的距离之差的绝对值为定值（小于两定点的距离）的点的轨迹是双曲线．那么，到两定点的距离之比（商）为定值的点的轨迹是什么呢？
定理：在平面内给定两个定点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹为圆．

证明：设
由 得



点轨迹为一个圆．

这个结论是公元前两百多年的一位大数学家阿波罗尼斯发现的，所以这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹定理”．

这个定理在高考中有很多应用．
例1：（2006年高考四川卷）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于（ ）
A． B．4 C．8 D．9
解：的轨迹为阿波罗尼斯圆，半径为2，圆的面积为，选B．
例2：（2008年高考江苏卷）满足条件的的面积的最大值是__________．
y
A
O
B
3
x
C
解：以所在直线为轴，线段中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，，设得

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化简得
的轨迹是以（3，0）为圆心，为半径的圆．
因为圆心（3，0）在直线上，圆上的点到的最大距离即为半径，所以的面积最大值为．
例3：（2014年高考湖北卷文17题）
已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任一点，都有，则
（1）___________；
（2）=___________．
解：很明显这里的圆就是阿波罗尼斯圆．，设
化简得