姚江宏特色大学物理课件 姚江宏量子物理2-1.ppt

1第二章波函数和薛定谔方程 2 §1 薛定谔方程的建立 1. 自由粒子波函数沿x方向传播的单色平面波表示为: ( , ) cos( ) x t A t kx ? ?? ? 1 ( , ) cos[ ( )] x t A Et px ?? ??( ) ( , ) i Et px x t Ae ?? ???xixe ix sin cos ???实数形式复数形式沿x方向运动的动能为 E和动量为 p的自由粒子的波函数?=2 ?? k=2 ?/?? = h/2 ?3 )(0),( xp Et ietx ???????),( ),(txE it tx?????????p ix?????? 2 22 2? px ???? 2 2 22 i t m x ? ?? ???? ??? 2. 自由粒子的薛定谔方程自由粒子波函数: 当自由粒子速度远小于光速 c时( v<<c )自由粒子的动量和能量满足以下关系: m pE2 2?( , ) ( , ) x t E x t i t ?????? 2 2 2 2px ??????? 4 一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程: 2 222xmt i??????????三维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 i t m x y z ? ???? ????? ??? ?????z ky jx i?????????????引入 2 2 2 2 2 2 2 x y z ? ??????? ??则: 222 i t m ????? ???? 5 3. 薛定谔方程的一般形式薛定谔方程为: 若粒子不是自由的,而是在某力场中运动,势能为 V(x ),则一维运动时粒子的总能量应为: 2 ( ) 2 p E V x m ? ? 2 2 2 ( ) 2 i V x t m x ? ??? ??? ?? ???薛定谔方程的三维表示: 22 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 2 r t i r t V r r t t m ?? ???? ?????? ??? 6 4. 对自由粒子薛定谔方程的讨论),(2 ),( 2 2trm t tri ????????????薛定谔方程的解是粒子的波函数,每一个波函数描写粒子的一个运动状态; 该方程是一个线性方程,态叠加原理成立。?薛定谔方程是微观粒子的运动方程,若已知某时刻粒子的状态,即波函数,则可以求出其后任何时刻的状态;利用该方程还可以求出粒子在给定环境下可能的所有稳定状态。 7 1. 波函数的统计解释§2 波函数及其统计解释波动观点粒子观点明纹处: 电子波强??(r,t)? 2大, 电子出现的概率大; 暗纹处: 电子波强??(r,t)? 2小, 电子出现的概率小。电子单缝衍射实验 av I 0 ? 1XP结论:波函数模的平方??(r,t)? 2与粒子在处附近出现的概率成正比。 r ? 8 电子的双缝干涉实验图片: 电子在底片上各位置出现的几率不是常数,出现的几率大, 即出现干涉图样中的“亮条纹”;有些地方电子出现的几率为零,没有电子到达,显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实验中观察到的,是大量事件所显示出来的一种概率分布。玻恩对波函数物理意义的解释:波函数在空间某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。 9 波函数模的平方代表时刻 t, 在处粒子出现的几率密度。 2|),(|tr ?? r ??时刻 t粒子出现在附近 d?体积内的几率为: ??dtr 2|),(| ? r ??波函数不仅把粒子与波统一起来,同时以几率幅(几率密度幅)的形式描述粒子的量子运动状态?已知波函数可以得知粒子在空间任意一点出现的几率: 2|),(|tr ???粒子在空间各点出现的几率总和等于 1。 1|),(| 2?????dtr ?10 波函数必须满足以下几个条件: ?单值、连续、有限、归一化?连续可微,且一阶导数也连续可微??? dV c 2|'| 1? 1|),(| 2 '????????dtr c??若一个未归一化的波函数其归一化的形式