姚江宏特色大学物理课件 姚江宏量子物理2-3.ppt

1第二章波函数和薛定谔方程 2 1. 力场中粒子的薛定谔方程)(rV ?如果粒子在势场中运动,能量)(2 2rVm pE ???),( )](2 [ ),( 2 2trrVm t tri ?????????????薛定谔方程: ),( ?),(trHt tri ????????)](2 [ ? 2 2rVm H ??????哈密顿算符则薛定谔方程为称为在坐标表象中的势能算符。)(rV ?§4 薛定谔方程薛定谔方程的应用 3 2. 定态薛定谔方程)()(),(:tfrtr ?????设 dt t dfritfrrVrtfm )()()()()()()(2 2 2????????????两边除以可得)()(tfr ?? dt t dftf irrVrmr )()( 1 )]()()(2 [)( 1 2 2????????????若作用在粒子上的势场不显含时间 t 时, 在经典力学中相应于粒子机械能守恒的情况。薛定谔方程可用分离变量法求它的特解)(rV ?4 )( )(t Ef dt t dfi?? ln ( ) E f t t c i ? ???( ) exp( ) i f t A Et ? ???可见 E具有能量的量纲,与自由粒子波函数类比它代表粒子的能量。)()( )](2 [ 2 2rErrVm ??????????由于空间变量与时间变量相互独立,所以等式两边必须等于同一个常数,设为 E则有: 5 把常数 A归到空间部分,薛定谔方程的特解为: ( , ) ( ) ( ) ( ) exp( ) i r t r f t r A Et ? ??? ??? ? ??)()(),(),(rrtrtr ???????????定态波函数对应的几率密度与时间无关由这种形式的波函数所描述的状态称之为定态。其波函数为定态波函数。处于定态下的粒子具有确定的能量 E、粒子在空间的概率密度分布不随时间变化,而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。 6 )()( )](2 [ 2 2rErrVm ??????????定态薛定谔方程: 2 2 2 [ ( )] ( ) ( ) 2 V x x E x m x ? ??? ? ???一维定态薛定谔方程: ?( ) ( ) H r E r ? ??? ?本征值方程本征值本征函数 7 . Crommie et al., Science 262 , 218 (1993). Scanning Tunneling Microscope 48个铁原子组成的量子围栏的 STM 像平均半径: 铁原子间距: 4K ,超高真空§5 一维势阱问题分立谱 8 量子围栏?束缚态?电子在势场的约束下在一定区间内运动二维圆直角势阱?一维直角势阱? 9 axxV???0,0)(axxxV????,0,)(粒子所处的势场为 2. 粒子在无限深方势阱中的定态薛定谔方程)()()( )(2 2 22xExxV dx xdm ??????? 1. 一维无限深方势阱§5 一维势阱问题分立谱 0ax V(x )10 axxxEx dx xdm ???????,0)()( )(2 2 22????在阱外粒子势能为无穷大,满足: 方程的解必处处为零。 axxx???,00)(?根据波函数的连续化条件,在边界上 0)(,0)0(??a??结论:粒子被束缚在阱内运动。