几何证明的好方法——截长补短.doc

几何证明的好方法——截长补短
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几何证明的好方法——截长补短
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有一类几何题其命题主若是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比率关系。这一类题目F（SAS）
EF=GF=BF-BG=BF-DE
变形b解：（简单思路）
EF=DE-BF
在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得
ADG=ABF=90
AD=AB
又DG=BF
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几何证明的好方法——截长补短
因此ADGABF（SAS）
GAD=FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90=DAG+GAB
=BAF+GAB=GAF
因此GAE=GAF-EAF
=90-45=45
GAE=FAE=45
又AG=AF
AE=AE
因此EAGEAF（SAS）
EF=EG=ED-GD=DE-BF
变形c解：（简单思路）
EF=BE+FC
延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。
由ABC是正三角形得
ABC=ACB=60
又DB=DC，BDC=120
因此DBC=DCB=30
DBE=ABC+DBC=60+30=90
ACD=ACB+DCB=60+30=90
因此GCD=180-ACD=90
DBE=DCG=90
又DB=DC，BE=CG
因此DBEDCG（SAS）
EDB=GDC
DE=DG
又DBC=120=EDB+EDC
=GDC+EDC=EDG
因此GDF=EDG-EDF
=120-60=60
GDF=EDF=60
又DG=DE
DF=DF
因此GDFEDF（SAS）
EF=GF=CG+FC=BE+FC
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变形d解：（简单思路）
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几何证明的好方法——截长补短
延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。
（1）所证，
ADGABF，EAGEAF
GAD=FAB=30，SEAG=SEAF
在RtADG中，GAD=30，AD=
AGD=60，AG=2
设EH=x
在RtEGH中和RtEHA中
AGD=60，HAE=45
HG=x，AH=x
AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3-
SEAF=SEAG=EHAG2=3-.
（第5页题目答案见第6页）
2）
正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE均分DAC。
求证：AC/2=AD-EO
（2）增强版
正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE均分DNM。请问MN、AD、EF有什么数目关系？
（2）解：（简单思路）
过E作EGAD于G
由于四边形ABCD是正方形
ADC=90，BD均分ADC，ACBD
因此ADB=ADC/2=45
由于AE均分DAC，EOAC，EGAD
因此EAO=EAG，
DGE=AOE=AGE=90又AE=AE，
因此AEOAEG（AAS）
因此AG=AO，EO=EG
又ADB=45，DGE=90
因此DGE为等腰直角三角形
DG=EG=EO
AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2
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（2）增强版解：（简单思路）
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几何证明的好方法——截长补短
MN/2=AD-EF
过E作EGAD于G，作EQAB于Q，过B做BPMN于P
依据（2）的解法，可求证，
GNEFNE（AAS）
DGE为等腰直角三角形
AG=AD-DG=AD-EF，
由于四边形ABCD为正方形，