初中数学三角函数难题.docx

初中数学三角函数难题
初中数学三角函数难题
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初中数学三角函数难题
1．已知等△ABC内接于⊙O，点D是⊙O上随意一点，sin∠ADB的（ ）
A．1 B．C．D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的ADC1=∠ABC，∵AB=5，AC=4，
sin∠ADC1=．
故答案：．
3．（2012?衡阳）察下列等式
sin30°=cos60°=
②sin45°=cos45°=
③sin60°=cos30°=
⋯
根据上述律，算sin2a+sin2（90°a）=1．
【解答】解：由意得，sin230°+sin2（90°30°）=1；
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sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；
sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；
故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．
故答案为：1．
4．（2010?防城港）有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
③已知x1，x2是对于x的方程2x2+px+p+1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为
个．
其中正确命题的序号是 ①④ （注：把所有正确命题的序号都填上）．
【解答】解：①因为 sin45°=cos45°=，再联合锐角三角函数的变化规律，故
此选项正确；
②不一定可以判断两个三角形全等，故此选项错误；
③根据根与系数的关系，得 x1+x2=﹣，x1x2=．
x1+x2+x1x2=，是正数．故此选项错误；
④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．故正确的有①④．
5．（2011?莆田）如图，一束光芒从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光芒从点A到点B经过的路径长为5．
【解答】解：如下图，
延伸AC交x轴于B′．则点B、B′对于y轴对称，CB=CB′．
作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．
即光芒从点A到点B经过的路径长为5．
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6．（2007?眉山）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，则cosA= ．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，
∴设BC=3x，则AC=4x，
AB=5x，
cosA===．
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7．（2002?西城区）如果α是锐角，且sin
2 2
【解答】解：∵sinα十cos35°=1，

2α十

cos235°=1，那么α=

35

度．
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∴α=35°．
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8．（2010?湛江）因为cos30°=，cos210°=﹣，所以cos210°=cos（180°+30°）
=﹣cos30°=﹣；
因为cos45°=，cos225°=﹣，所以 cos225°=cos（180°+45°）=﹣cos45°=
﹣；
猜想：一般地，当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，由此可知cos240°
的值等于 ﹣ ．
【解答】解：∵当a为锐角时，有cos（180°+a）=﹣cosa，
cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．
9．（2013?邵阳模拟）在△ABC中，已知sinA=，cosB=，则∠C= 105° ．
【解答】解：∵sinA=，cosB=，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．
故答案为：105°．
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10．（2012?海南模拟）在△ABC中，（tanC﹣1）+|﹣2cosB|=0，则∠A=105°．【解答】解：∵（tanC﹣1）2+|﹣2cosB|=0，
tanC﹣1=0，﹣2cosB=0，
即tanC=1，cosB=，
又∵B、C在同一个三角形中，
∴B=30°，C=45°，
∴A=180°﹣30°﹣45°=105°．
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故答案是105°．
11．（2011?九江模）若α、β均角，以下有
4个命：①若sinα＜
sinβ，α＜β；②若α+β=90°，sinα=cosβ；③存