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二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 二次函数基础知识
相关概念及定义
二次函数的概念： 一般地， 形如y =ax2 +bx+(a, b , c是常数，a ,0 )的函数，
叫做二次函数。 这里需要强调： 和一元二次方程类似，决定了抛物线开口的大小和方向， a的正负决定开口方向， | |a的大小决
定开口的大
小.
一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下， b决定了抛物线的对称轴.
(1)在a 0的前提下，
当b >0时，一一b<0 ,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；
2a
当b =Q时，一上二0 ,即抛物线的对称轴就是 y轴；
2a
当b <0时，一上>0 ,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.
2a
⑵ 在a ,0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b *0时，一一b > 0 ,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；
2a
当b =0时，一也二0 ,即抛物线的对称轴就是 y轴；
2a
当b <0时，=一b<0 ,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.
2a
总结起来，在 a确定的前提下， b决定了抛物线对称轴的位置.
总结：
y轴交点的纵坐标为正；
y轴交点的纵坐标为 0 ； y轴交点的纵坐标为负.
常数项c
(1)当c尸0时，抛物线与 y轴的交点在x轴上方，即抛物线与
⑵ 当c =0时，抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与
⑶ 当c <0时，抛物线与 y轴的交点在x轴下方，即抛物线与
总结起来，c决定了抛物线与 y轴交点的位置.
总之，只要 a , b , c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
公 式法： y =ax2 +bx c = la x+-b- !叶4ac b 2 , 「. 顶点是
2a 4a
( b 4ac - b 2 b
1i： ■, )，…线 k 1 .
2a 4a 2a
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y =a x .= h)2卷k的形式，得
到顶点为(h , k ),对称轴是直线 x h .
y a xi ■x x2
运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的
连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 ^
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 ^
用待定系数法求二次函数的解析式
一般式：y = ax2 bx c .已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式 .
顶点式： y — a(x h 2 *，通常选择顶点式.
交点式：已知图像与x轴的交点坐标xi、x2 ,通常选用交点式：
直线与抛物线的交点
y轴与抛物线 y =ax 2 + bx七得交点为（0, c ）.
与y轴平行的直线x=h与抛物线y = ax2 + bx电有且只有一个交点
（h , ah 2 bh c ）.
抛物线与 x轴的交点：二次函数 y二ax2 4bx如c的图像与 x轴的两个交点的横坐
标x1、x2 ,是对应一元二次方程 ax 2+bx+ x轴的
交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 u A>0㈢ 抛物线与 x轴相交；
②有一个交点（顶点在 x轴上） 白 & = 0㈡ 抛物线与 x轴相切；
③没有交点 y A至00 抛物线与 x轴相离.
平行于x轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、， 两交点的纵坐标相等，设纵 2
坐标为k ,则横坐标是 ax +bx /c=k的两个实数根.
一次函数y = kx 丁 n《kk0 M图像l与二次函数 y=ax 2 * bx % a注0）的图像
I y - kx n
G的交点，由方程组 fy 的解的数目来确定： ①方程组有两组不同
y - ax2 bx c
的解时 二l与G有两个交点；②方程组只有一组解时 =l与G只有一个交点； ③
方程组无解时
x轴两交点之间的距离：若抛物线
0 事工 、，
y由于xi、x2是方程
ax
— 2中
y - ax
2+bx c 0.
bx+ c与x轴两交点为
的两个根，故
xi x2 ——一 , xi x2 - -c
AB
xi x2
4x1x2
.J
a
二次函数图象的对称 ：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表
达
关于x轴对称
十b x+关c于x轴对称后，得到的解析式 是
2 r
y ax bx
y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是
关于y轴对称
=2 + b x+关c于y轴对称后，得