单因素方差分析的计算步骤.doc

一、单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素(因子) A ,且A 有m 个水平,分别记为,,, 21mAAA?在每一种水平下,做 n 次实验,在每一次试验后可得一实验值,记做 ijx 表示在第 j 个水平下的第 i 个试验值?? mjni??,2,1;,2,1??。结果如下表 : 表 单因素方差分析数据结构表观测值水平 1A 2A ?? mA 1 11x 12x ?? mx 1 222x 22x ?? mx 2 ???? n 1nx 2nx ?? nmx 为了考察因素 A 对实验结果是否有显著性影响,我们把因素 A 的m 个水平 mAAA?,, 21 看成是 m 个正态总体,而?? mjnix ij??,2,1;,2,1??看成是取自第 j 总体的第 i 个样品,因此,可设?? mjniaNx j ij??,2,1;,2,1,,~ 2???。可以认为 jjja???,??是因素 A 的第 j 个水平 jA 所引起的差异。因此检验因素 A 的各水平之间是否有显著的差异,就相当于检验: ????? maaaH? 210: 或者 0: 210???? mH????具体的分析检验步骤是: (一) 计算水平均值令jx 表示第 j 种水平的样本均值, j ni ijjn xx??? 1 式中, ijx 是第 j 种水平下的第 i 个观察值, jn 表示第 j 种水平的观察值次数(二)计算离差平方和在单因素方差分析中, 离差平方和有三个, 它们分别是总离差平方和, 组内离差平方和以及组间平方和。首先,总离差平方和,用 SST 代表,则, 2)(????xxSST ij 其中,n xx ij???它反映了离差平方和的总体情况。其次,组内离差平方和,用 SSE 表示,其计算公式为: ???????????? ji j ijxxSSE 2 其中 jx 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况, 即反映了随机因素带来的影响。最后,组间平方和,用 SSA 表示, SSA 的计算公式为: ???? 22???????xxnxxSSA jjj 用各组均值减去总均值的离差的平方, 乘以各组观察值个数, 然后加总, 即得到 SSA 。可以看出,它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素,也包括系统因素。根据证明, SSA SSE SST ,, 之间存在着一定的联系,这种联系表现在: SSA SSE SST ??因为:???????? 2 2?????????xxxxxx jj ij ij???????? xxxxxxxx jj ijjj ij????????????? 2 22 在各组同为正态分布,等方差的条件下,等式右边最后一项为零,故有, 222)()()(???????????xxxxxx jj ij ij即SSA SSE SST ??(三)计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对 SST 来说,其自由度为 1?n ,因为它只有一个约束条件,即 0)(???? xx ij 。对 SSA 来说,其自由度是 1?m ,这里m 表示水平的个数, SSA 反映