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高数要点笔录(完好)
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第一章 函数、极限和连续
§ 函数
一、 主要内容
㈠函数的观点
1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D
定义
lim 0
⑴若 ,则称β是比α较高阶的无量小量；
lim c
⑵若 （c为常数），则称β与α同阶的无量小量；
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lim 1
⑶若 ，则称β与α是等价的无量小量，记作：β～α；
lim
⑷若 ,则称β是比α较低阶的无量小量。
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定理：若：
则：

1~ 1， 2~ 2；
lim
1
lim
1
2
2
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㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判断准则：
设：yn xn zn （n=1、2、3）
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且：
则：

limyn limzn a
n n
limxn a
n
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2． 函数极限存在的判断准则：
设：关于点 x0的某个邻域内的全部点
（点x0除外）有：
g(x)
f(x)h(x)
limg(x) limh(x) A
且：x x0 x x0
limf(x) A
则：x x0
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㈣极限的运算规则
若：limu(x) A, limv(x) B
则：①lim[u(x)v(x)]
limu(x)
limv(x)A
B
②lim[u(x)v(x)]limu(x)
limv(x)
A
B
③limu(x)
limu(x)
A
(limv(x)
0)
v(x)
limv(x)
B
推论：①lim[u1(x) u2(x) un(x)]
limu1(x) limu2(x) limun(x)
②lim[cu(x)] climu(x)
③lim[u(x)]n [limu(x)]n
㈤两个重要极限
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．
．

lim
sin
x
1
lim
sin
(x)
1
x
0
x
或
(x)
0
(x)
lim
(1
1)x
e
1
lim(1
x)x
e
x
x
x
0
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§
一、 主要内容
㈠函数的连续性
1. 函数在 x0处连续：f(x)在x0的邻域内有定义，
1olim y lim[f(x0 x) f(x0)] 0
x 0 x 0
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o
lim
f(x)
f(x0)
2
xx
0
lim
f(x)
f(x0)
左连续：x
x
0
lim
f(x)
f(x0)
右连续