《加权残值法》 (2).ppt

加权残值法
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加权残值法（Method Weighted Residual）是一种应用广泛的求解微分方程的方法。该方法先假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数，该近似解不能精确满足微分方程和边界条件，即存在残差。在加权．内部法
试函数满足边界条件，也即

此时消除余量的条件成为:
2．边界法
试函数满足控制方程，也即

此时消除余量的条件为:
3．混合法
试函数不满足控制方程和边界条件，此时用下式来消除余量。
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三种方法的对比
在内部法中，对于一般比较规则的边界，选取满足边界条件的试函数是比较容易的。并且，由于边界条件已经满足，所以计算工作量较少。但是对于复杂的边界，这一方法就很不方便。
在边界法中，由于基本控制方程已经满足，近似计算仅在边界上进行，因而计算工作量少，精度较高，不足的是，要事先求得不同问题控制方程的泛定解，比较困难。
混合法的优点在于，对试函数要求不严，复杂的边界条件和复杂的控制方程都能适应，缺点是计算工作量较大。
对于复杂控制方程，简单边界问题，宜采用内部法；对简单控制方程，复杂边界，适合用边界法；对控制方程和边界条件都较复杂的问题，采用混合法较好。这三种方法中，内部法一般应用较多
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无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：
(1)试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函 数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问题具有对称性，应充分利用它。
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基本方法概述
以内部法为例，介绍按权函数分类时加权余量的五种基本方法。对内部法来说，消除余量的统一格式是:
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1．子域法(Sub domain Method)
此法首先将求解域V划分成n个子域 ，在每个子域内令权函数等于1，而在子域之外取权函数为零，也即:
如果在各个子域里分别选取试函数，那么它的求解在形式上将类似于有限元法。
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(Collocation Method)
子域法是令余量在一个子域上的总和为零。而配点法是使余量在指定的n个点上等于零，这些点称为配点。此法的权函数为:
Dirac(犹拉克) 函数又称单位脉冲函数，它的定义为:
P、Pi分别代表求解域内任一点和配点。
由于此法只在配点上保证余量为零，因此不需要作积分计算，所以是最简单的加权余量法。
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(Least Square Method)
最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的残值平方积分最小。
则极值条件为：
若记余量平方和为I(C)，即
由此可见，本方法权函数为:
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(Galerkin Method)
本法是使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数
当试函数 包含整个完备函数集时，用本法必可求得精确解。由于残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。
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(Method of Moment)
本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。
但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。
消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此
对一维问题
对二维问题
其余类推
这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精度彼此相近。但对低阶近似 (n较小)情况下，后三种的精度要高于前两种。
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算例
为说明上述基本概念，以图所示等截面悬臂梁，受满跨均布荷载作用，求悬臂端B的竖向位移
图示梁的控制方程为:
其边界条件为:
若取试函数为:
不难验证其满足边界条件，也即 。而控制方程的内部余量 为:
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基本方法进行求解
子域法解
由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域）即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
代回 式可得:
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配点法