高数下册知识点15861.doc

高数下册知识点15861.doc高等数学(下)知识点第九章多元函数微分法及其应用(一) 基本概念 1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。 2、多元函数: ),(yxfz?,图形: 3、极限: Ayxf yxyx??),( lim ),(),( 004、连续: ),(),( lim 00),(),( 00yxfyxf yxyx?? 5、偏导数: x yxfyxxfyxf x x???????),(),( lim ),( 00000 00y yxfyyxfyxf y y???????),(),( lim ),( 00000 006、方向导数: ?? cos cos y fx fl f????????其中??, 为l 的方向角。 7、梯度: ),(yxfz?,则jyxfiyxfyx gradf yx??),(),(),( 000000??。 8、全微分:设),(yxfz?,则 d d d z z z x y x y ? ?? ?? ?(二) 性质 1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系: 高等数学(下)知识点偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义 1223 4 2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理) 3、微分法 1) 定义: ux 2) 复合函数求导:链式法则 z 若( , ), ( , ), ( , ) z f u v u u x y v v x y ? ??,则 v y z z u z v x u x v x ? ????? ???? ????, z z u z v y u y v y ? ????? ???? ???? 3) 隐函数求导:两边求偏导,然后解方程(组) (三) 应用 1、极值 1) 无条件极值:求函数),(yxfz?的极值解方程组???????0 0 y xf f 求出所有驻点, 对于每一个驻点),( 00yx ,令),( 00yxfA xx?,),( 00yxfB xy?,),( 00yxfC yy?, 1若0 2??B AC ,0?A ,函数有极小值, 若0 2??B AC ,0?A ,函数有极大值; 高等数学(下)知识点 2若0 2??B AC ,函数没有极值; 3若0 2??B AC ,不定。 2) 条件极值:求函数),(yxfz?在条件 0),(?yx?下的极值令:),(),(),(yxyxfyxL ????——— Lagrange 函数解方程组??????????0),( 0 0yx L L y x? 2、几何应用 1) 曲线的切线与法平面曲线???????????)( )( )(:tzz tyy txx ,则?上一点),,( 000zyxM (对应参数为 0t )处的切线方程为: )()()( 0 00 00 0tz zzty yytx xx????????法平面方程为: 0) )(() )(() )(( 000000?????????zztzyytyxxtx 2) 曲面的切平面与法线曲面 0),,(:??zyxF ,则?上一点),,( 000zyxM 处的切平面方程为: 0) )(,,() )(,,() )(,,( 000000000000??????zzzyxFyyzyxFxxzyxF z y x 法线方程为: ),,(),,(),,( 000 0000 0000 0zyxF zzzyxF yyzyxF xx zyx?????第十章重积分(一) 二重积分高等数学(下)知识点 1、定义: ??????? nk kkk Dfyxf 1 0),( lim d),(????? 2、性质:(6 条) 3、几何意义:曲顶柱体的体积。 4、计算: 1) 直角坐标???????????bxa xyxyxD )()(),( 21??, 21 ( ) ( ) ( , )d d d ( , ) d b x a x D f x y x y x f x y y ????? ?????????????dyc yxyyxD )()(),( 21??, 21 ( ) ( ) ( , )d d d ( , ) d d y c y D f x y x y y f x y x ????? ?? 2) 极坐标?????????????????????)()(),( 21D 21 ( ) ( ) ( , )d d (