高中数学 二项式定理.pptx

高中数学 二项式定理
第一页，共22页。
二项式定理
~
xxx
排列数
xxy
排列数
yyy
排列数
xyy
排列数
2
第二页，共22页。
二项式定理：
高中数学 二项式定理
第一页，共22页。
二项式定理
~
xxx
排列数
xxy
排列数
yyy
排列数
xyy
排列数
2
第二页，共22页。
二项式定理：


即
二项式定理
~
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第三页，共22页。
利用二项式定理展开下列各式：
(1)　　　 。 (2) 。
1

(1)
(2)
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第四页，共22页。
(1) 试求 的展开式。
(2) 试求 的展开式。
2

(1)
(2)
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第五页，共22页。
(1) 试求 展开式中　 项的系数。
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(1) 由二项式定理知
　　　 展开式中的项形如
要求 项的系数，故
此项为
故所求系数为－160
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第六页，共22页。
(2) 试求多项式 除以 的余式。
3

(2)
故所求余式为
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第七页，共22页。
利用 的展开式求 近似值。
(四舍五入取到小数点后第五位)
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由二项式定理知
故
后面三项数值太小，不会影响小数前五位
故只取前三项并取到小数点后第 5 位得
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第八页，共22页。
试证明： 。
5

［解法一］
将二项式定理
中
令 x＝y＝1 代入，即得欲证之等式
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第九页，共22页。
试证明： 。
5

［解法二］
考虑以下问题：一列 n 个方块，每个可以涂黑色或白色，
有几种方法？
可以有两种算法：
(1) 由左至右涂，每个方块可以是黑色或白色，故有 2n 种方法
(2) 按照有几个黑方块来分类，黑方块可以有 0，1，2，
…，n 个。若有 3 个黑方块就有　 种方法
因此，一共有 　 种方法
(1)、(2)是算同一个问题，答案必须要一样
因此
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第十页，共22页。
帕斯卡三角形(杨辉三角形)：
观察帕斯卡三角形可以看出：
(1) 数字呈现左右对称，且两端的数都是 1。
这是因为　　　　 ，且　　　　　 。
帕斯卡三角形
~
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第十一页，共22页。
帕斯卡三角形(杨辉三角形)：
观察帕斯卡三角形可以看出：
(2) 每个数等于其左上的数与右上的数的和
即 。
帕斯卡三角形
~
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第十二页，共22页。
帕斯卡定理：
帕斯卡三角形
~
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第十三页，共22页。
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［解法一］
试证明帕斯卡定理 。
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第十四页，共22页。
［解法二］
我们计算在 1，2，3， ，n 之中取出 k 个相异数字的组合有几种方法，考虑以下两种算法：
(1) 显然答案为 种方法
(2) 按照 “n” 是否被选到分成两类
若 “n” 被选到，则还要从 1，2，…，(n－1) 之中选出
k－1 个，有 种方法
若 “n” 未被选到，则还要从 1，2，…，(n－1) 之中选出
k 个，有 种方法
因此，一共是　　　　 种方