均值不等式公式总结及应用.doc

均值不等式应用
（当且仅当a„b时取"="）
（当且仅当a„b时取“="）
1.⑴若a,b€R，则a2,b2>2ab
2.⑴若a,b€R*，则a±b>
^2
⑵若a，b€R，则ab<"2+b2
2
（2）若a,b(2丿x-3sinx
“x“1，求函数y=
“x“|,求函数y=沁2-3x)的最大值.
条件求最值
1•若实数满足a€b=2，则3a€3b的最小值是
分析“和"到"积"是一个缩小的过程，而且3a-3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解：3a和3b都是正数,3a+3b>2寸3a-3b—2寸3a+b—6
当3a€3b时等号成立，由a+b€2及3a€3b得a€b€1即当a€b€1时，3a+3b的最小值是6.
变式：若log4X+l0g4y€2
1
~的最小值•并求x,y的值
技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
19
2：已知x>°，y>0，且一+_=1，求x+y的最小值。
xy
错解：丁X>0,y>0，且丄+-€1，•••x+y€
xy
„x+y)>2—2X；xy=12故x+y=12
xymin
错因：解法中两次连用均值不等式，
在x+y>2*何等号成立条件是
x=y，在丄+9>2」2等号成立条件是
xyxy
即y€9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步
骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：
19
x〉0,y〉0,+=1，
xy
„x
2+艺+
xy
10>6+10=16
y9x19
当且仅当—=—时，上式等号成立，又-+-=1，可得x=4,y=12时，„x+y…=16
xyxymin
变式：
(1)若x,yER+且2x+y=1，求1+1的最小值
xy
(2)已知a,b,x,yeR+且£+b=1,求x+y的最小值
xy
技巧七
已知x,y为正实数，且X2+丁=1,求x“.Ji+y2的最大值.
a2+b2
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab<2
同时还应化简1+y
-1
2中y2前面的系数为2
=x
下面将x,+y22分别看成两个因式:
技巧八：
x2
22
即x1+y2=\；2・x2+罗
1
已知a,b为正实数，2b+ab+a=30,求函数丫二話的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
、30-2b
法一：a=b+1
30-2b
吐b+i心
-2b2+30b
-b+1
由a>0得，0<b<15
令t=b+1,1<t<16,ab
－2t2+34t－31
1616
=-2(t+上)+34vt+t>2
16
t詔
ab<18
1
•••y>1O当且仅当t=4,即b=3,a