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半角旋转模型
.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型
探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结
(西城19)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形的边长为1，将其沿轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为．
（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点
P的坐标；
（2）画出点运动的曲线（0≤≤4），并直接写出该曲线与轴所围成区域的面积．

东城24. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN，
AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；
问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.
昌平24．在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．
朝阳24．在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点．
（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出的值；
（2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，，求k的值．
图2
图1
西城24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部．
(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos=_______，
△PMN周长的最小值为_______；
(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=，PB=，PC=1，求△ABC的面积；
(3) 若PA=，PB=，PC=，且，直接写出∠APB的度数．
门头沟24．已知：在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E
在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE＝∠BDF，∠ABE＝∠DBM．
（1） 如图1，当∠ABC＝45°时，线段 DM 与AE之间的数量关系是 ；
（2） 如图2，当∠ABC＝60°时，线段 DM 与AE之间的数量关系是 ；
（3）① 如图3，当（）时，线段 DM 与AE之间的数量关系是 ；
② 在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连结CP，若AB＝7，AE＝，
图1
图2
图3
求sin∠ACP的值．
顺义24．如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合．三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点
（1）求证：；
（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值．
朝阳22．阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC
图2
内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
图3
图1

小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离