“猎犬追狐狸”的大学物理解法.pdf

２０２２年第４期 　　　　　　　　　　　　　　 物理通报 　　　　　　　　　　　 竞赛与物理专题研修
“猎犬追狐狸”的大学物理解法
李开玮 　 李振华 　 刘顺彭
ｉｎｇｍｏｄｅｌ；ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌｍｅｔｈｏｄ
— ８８ —２０２２年第４期 　　　　　　　　　　　　　　 物理通报 　　　　　　　　　　　 竞赛与物理专题研修
根据几何图像可得
２　 问题分析
ｃｏｔθ＝ｄ狔＝狌狋－狔 （５）
如图２所示，为猎犬运动的大致轨迹图，运动中 ｄ狓 犔－狓
某时刻，猎犬运动方向与犃犅 夹角为θ，根据图像可 为方便处理，令ｃｏｔθ＝狆，由式（５）可得
知，猎犬与狐狸靠近的速度为狏－狌ｃｏｓθ，初始时猎 狆（犔－狓）＝狌狋－狔 （６）
犬与狐狸相距犔，当猎犬追上狐狸时，距离为零，设 式（６）两边对狓求导得
ｄ狆 ｄ狋
猎犬用时犜，因此 ｄ狓（犔－狓）＝狌ｄ狓 （７）
犜（狏－狌ｃｏｓθ）ｄ狋＝犔 （１） ｄ狋
∫０ 式（７）有３个变量，把ｄ狓 转化一下
初始时猎犬与狐狸水平方向距离为零，猎犬追 ２ ２
２ ｄ狓 ｄ狔
上狐狸时水平方向距离仍为零，猎犬水平方向分速 狏 ＝（ｄ狋） ＋（ｄ狋） ＝
度为 ，因此可得 ２ ２
狏ｃｏｓθ ｄ狓 ＋ ｄ狔ｄ狓 （８）
犜（狏ｃｏｓθ－狌）ｄ狋＝０ （２） （ｄ狋） （ｄ狓ｄ狋）
∫０ ｄ狋 １＋狆２
将式（１）两边乘以狏，式（２）两边乘以狌，相加 由式（８）可得ｄ狓＝ 狏２ 代入式（７）分离变
可得 量得 槡
犜（狏２ －狌２）ｄ狋＝狏犔 （３） ｄ狆 ｄ狓 狌 （９）
∫０ １ ２ ＝犔－狓狏
狏犔 槡 ＋狆
由式（３）可得犜＝ ２ ２． ２ 狌 犔
狏 －狌 ｌｎ（狆＋槡１＋狆 ）＝狏ｌｎ（犔－狓） （１０）
只要猎犬速率大于狐狸，就一定能追上狐狸．因此猎 由式（１０）可得
狌 狌
犬运动路程为 狏 －狏
２ 狆＝１ 犔 － 犔 （１１）
犛＝狏狋＝ ２狏犔 ２ （４