线性代数总结(知识点必考).docx

线性代数必考的知识点
1、行列式
n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；
代数余子式的性质：
、A和a的大小无关；
ijij
、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;
、某行（列）的元素乘+r(B);(探
、r(A+B)<r(A)+r(B)；Y
、r(AB)<min(r(A),r(B))；(※)
、如果A是mxn矩阵，B是nxs矩阵，且AB=0，贝U:(探
I、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解(转置运算后的结论)；
I、r(A)+r(B)<n
、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)>r(A)+r(B)-n;
6.
三种特殊矩阵的方幂：【我印象中1,2没学过】
、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;
'1ac、
、型如01b的矩阵：利用二项展开式；
001丿
二项展开式：(a+b)n=C0an+C1an-1b1+
nn
+CmUn-mbm+
n
+Cn-1a1bn-1+Cnbn=n
XCmambn-m；
n
m=0
注：1、(a+b)n展开后有n+1项;
7.
II、
III、
n(n-1)(n-m+1)
Cm=
n
组合的性质：Cm=Cn-m
nn
利用特征值和相似对角化：
n!
m!(n-m)!
C0=Cnnn
Cm=Cm+Cm-1
n+1nn
Cr=2n
n
r=0
rCr=nCr-1；
nn-1
③、
伴随矩阵
8.
r(A)二n
r(A)=n—1;
r(A)<n一1
|A
古)
n
①、伴随矩阵的秩：r(A*)=<1
0
、伴随矩阵的特征值：A(AX=XX,A*=|A|A-1nA*X
九
、a*=|a|a-1、|a*|=|a|"-1
关于A矩阵秩的描述：
、r(A)=n,A中有n阶子式不为0,n+1阶子式全部为0；(两句话)
8.
、r(A)<n,A中有n阶子式全部为0;
8.
、r⑷＞n,A中有n阶子式不为0;
线性方程组：Ax=b，其中A为mxn矩阵，贝V：
、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程；
、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程;
线性方程组Ax=b的求解：
、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
、齐次解为对应齐次方程组的解；
、特解：自由变量赋初值后求得;
11.
由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:
8.
①、
③、
④、
ra
a
a..
、
rx、
rb)
11
12
1n
1
a
a
a
x
1丿
21
22,
・・2n
.2
=
b丿丿
0、
a
a
丿
、x丿
）丿
②、
m
mnm
ax+ax++ax=b
2・・2nm,•n•n
（向量方程，A为mxn矩阵，
oAx=b
m个方程，n个未知数）
1
n
邛（全部按列分块，其中p=
rb)
1
b
.2
bn丿
）；
+ax=卩（线性表出）
nn
ax+ax
1122
有解的充要条件：r⑷=r（A