数列求和及求通项的方法.docx

数列求和的5种常用方法
第一类：公式法(略)
1、 等差数列的前〃项和公式
„ n(a, +an) n(n-l)d
2、 等比数列的前〃项和公式
nax (q = 1)
S" = ＜。1(1—/”)=—a,〔q (q 丰 口
n = /(O) + /(-) + /(-) + ... + /(—) + /(D，
n n n
数列亿,J是等差数列吗？证明你的结论;
解：«„ = /(0) + /(-) + /(-) +...+/(—) + /(I)(倒序相加)
n n n
n a" = 7■⑴ + /(—) + /(—) + ••• + /(-) + /(0) n n n
1 八 I n—l 2 n—2 .
l + 0 = —+ = —+ = ... = l
n n n n
则，由条件：对任意xeR都有f(x) + /(l-x) = 2o
— 2 + 2 + 2 + . .. + 2 = 2( 〃 +1)
no” =〃 + l =” + 2 an+l -an^l
从而：数列｛%｝是ax = 2,d = l的等差数列,。
第五类：拆项与分组求和法
先研究通项，通项分成几个等差或等比数列的和的形式，再分组求和。
例 4： S=l- + 2- + 3- + --- + n—
2 4 8 2n
解：由于：a = n— = n
〃 2〃 2〃
贝!J： S„=(l + 2 + 3 + ... + zi) +(- + - + - +■■• + —)
2 4 8 2"
(等差+等比，分两组后利用公式求和)
项-(!)")i i
=〃(〃 + 1)+ —— =冲 + 1)+ 1_顷
J __L 2 2.
2
例5：
-(10n-l)
5, 55, 555, 5555,…，9 ,…；
"个
〃个 s /—A—\
峪 S” =5 + 55 + 555 + ••• + C = 6(9 + 99+999 + •••+99・“9) =|[(10 -1) + (102 -1) + (103 -1) + • • • + (10,! -1)]
5 50 5
=-[10 +102 +103 + • • • +10" - «] = — (10,! -1) - - «
数列求通项的常用方法
—'公式法：
常用的公式有：
等差数列及等比数列的通项公式。
an — Sn — Sn_x (n > 2) o
例题：数列｛%｝的前n项和为S“，%=1, an+l = 2Sn ( n£ N*),
求｛a,,｝的通项公式。
解：由 0]=1, a2 - 2Sl =2,
当 nN2 时= S, - S“_] = ?(弓+1 -％)得外=3，
2 a,
因此｛% ｝是首项为。2 =2, q=3的等比数列。
故a" = 2x3*2(nN2),而％=1不满足该式，
fl (n=l)
所以an = \ 。
[2x3"-2(心 2)
二' 累加法：
求型如an+1 = an + /(n)的通项公式的方法
｛%｝中，%=1, %+1-％ =2" (〃cN*),求％。
n > 2时，q - ％ = 2
“3 —。2 = 2
解：11=1时，弓=1 «4 - tz3 = 23 -以上n-