高数读书笔记.doc

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高
等
数
学
读
书
笔
记

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——定积分与不定积分[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点使得
、不定积分的性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数发f（x）及g（x）的原函数存在，则
求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数f（x）
的原函数存在，k非零常数，则
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三、定积分与不等积分的计算方法
1 .分项积分法
我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：，若右端的积分会求，则应用法则,其中，是不全为零的任意常数，就可求出积分，这就是分项积分法.
例1计算定积分.
解 利用加减一项进行拆项得
==
=+=++.
=.
2. 分段积分法
分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.
被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.
例2 计算定积分.
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解 由于为偶函数，在上的分界点为，所以
=+
==.

3. 换元积分法（变量替换法）
换元积分法可以分为两种类型：
第一类换元积分法（俗称为“凑微分法”）
例3 计算定积分.
解 ==
= =
=
=.
第二换元积分法
常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换．
下面具体介绍这些方法．
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① 三角替换
例4 计算定积分.
解 由于=，故可令，于是
==
=
=
=
=
==.
②幂函数替换
例5 计算定积分.
解 作变量代换，得到
=，因此
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==
===
=.
③倒替换
例6 计算定积分.
解 =
令得
===.
④替换公式
三角代换
(1)被积函数含有根式，令
(2)被积函数含有根式，令
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(3)被积函数含有根式，令
倒代换
根式代换
被积函数含有
4. 分部积分法
]若，在上连续，则
或.
利用分部积分求的解题方法
（1）首先要将它写成得形式．
选择，使用分布积分法的常见题型：
5. 带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用
若函数在点的领域内有连续的阶导数，则，有
+
，其中称为积分型余项．
例7 计算.
解 设，则
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=
=
=.
定积分和不定积分的运用
、定积分
平面图形的面积
一般地，有上、下两条连续曲线
y=f2(x)与y=f1(x)以及两条直线
x=a与x=b（a<b）所围的平面图形如图（1）
所示，它的面积计算公式为
x
y
Y=f2(x)
Y=f1(x)
a
b
o
A=。 （1）
(1)
设曲线C有参数方程x=x(t),y=y(t),t[] (2)
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给出，在[]上y(t)连续可微且(t)≠0（对于y(t)连续可微且≠0的情形可类似讨论）。记a=x((a<b或b<a),则由曲线C及直线x=a,x=b和x轴所围的图形，其面积计算公式为A=.
如果由参数方程（2）所表示的曲线自身所围图形是封闭的，既有且在（）内自身不再相交，那么由曲线自身所围图形的面积为A=（或）。
例1 求由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围平面图形的面积A.
解 该平面图形如图（2）所示。先求出抛物线与直线的交点P（1，-1）与Q(9,3).用直线x=1把图形分为左、 右两部分，分别求得它们的面积为
A1=，
，
所以.
也可把抛物线方程和
直线方程改写成
.
并改写积分变量为y，
于是得
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立体的体积
用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积, 常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,例如求一个铁块的体积,可以将此铁块划分成许多基本的小铁块,每一块的厚度为б(x),假设每一个基本的小铁块的横切面积为A(x),则此小铁块的体积大约是A(x)б(x),将所有的小铁块加起来,令n=б(x)→0,我们就可