110函数的连续性.ppt

110函数的连续性
证：
任取
当x取得改变量
则
所以
在点
处连续.
例4 证明函数
在定义区间
内连续.
由
的任意性知,
在 内连续.
在定义域内为连续函
110函数的连续性
证：
任取
当x取得改变量
则
所以
在点
处连续.
例4 证明函数
在定义区间
内连续.
由
的任意性知,
在 内连续.
在定义域内为连续函数.
类似有
在定义域内为连续函数.
有理分式函数
在定义域内为连续函数.
函数的间断点及其分类
并称x0为函数f(x)的间断点.

第一类间断点—
左、右极限都存在.
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点—
左、右极限至少有一个不存在.
在点x0处连续
以上三个条件只要有一条不满足,
在点x0处不连续.
函数
即
在点x0处间断，

无穷型间断点
震荡型间断点
第一类间断点
o
y
x
可去型
o
y
x
跳跃型
第二类间断点
o
y
x
无穷型
o
y
x
振荡型
x = 0为函数的无穷间断点.
例1 函数
在x = 0处无定义,从而间断.
因
(第二类间断点)
例2
x = 0是否是间断点？是哪类间断点？
且 x = 0为函数的震荡间断点.
因
(第二类间断点)
解：
不存在，故 x=0是函数的间断点.
故x =1为可去间断点.
例3 函数
x = 1是否是间断点？其类型？
又
补充：f(1)=2即可连续.
即：
(第一类间断点)
解：
因 f(x)在x=0处无定义，故x=1是 f(x)的间断点.
x = 0为f(x)第一类可去间断点.
练习：
x
y
o
例4 函数
在 x = 1处是否间断？间断点的类型？
= 1
1
-1
解：
x = 0是函数的间断点，
跳跃间断点 (第一类间断点).
= -1
例5 函数
在x = 1处的连续性，若间断，
判断其类型.
解: 先求函数.
在
处间断，是第一类间断点（跳跃间断点）.
1，
x = 1
x > 1
0，
注：此类题，函数是以极限形式给出，故需先求函数关系式.
连续函数的运算与初等函数的连续性
1. 连续函数的四则运算
(四则运算法则)
即连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数.
多项式函数在其定义域内为连续函数.
有理函数在其定义域内为连续函数.
三角函数在其定义域内为连续函数.
若
均在x0处连续，则
在x0处连续.
结论：
思考题
思考题解答
且
但反之不成立.
例
但
函数符号与极限符号可以交换顺序.
则
(复合函数的连续性)
设函数
在点
处连续,
函数
在点
处连续.
函数
在点
处连续,
(反函数的连续性)
则其反函数
在对应区间上单增(或减)连续.
反三角函数在其定义域内为连续函数.
上单调增加（或减少）且连续，
若函数
在区间
即
思考题

基本初等函数在其定义域内连续;
初等函数在其定义区间上连续.
例1 设
问a, b为何值时，f(x)在其定
义域内连续？
解：因为f(x)在每一段内都是初等函数，故连续.
要使f(x)在其定义域内连续,只需在x=0, x=1连续.
解:
因为函数f(x)在定义域内连续,所以 f(x)在 x = 0 处连续.
例2设
在其定义域内连续，求k的值.
解: 因
例3 求
利用函数的连续性可以求某些函数的极限.
若函数 f(x)在x=x0处连续，则
在x=0处连续，
例5 求
解: 令
当 存在时，
例4 求
在u=e
连续，
或
解: 原式=
闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。
闭区间上连续函数的性质
即
有
则 f (x)在[a, b]上必能取得最大值和最小值.

(有界性)
若 f (x)在闭区间[a, b]上连续，
注：两个条件: (1) 闭区间; (2)连续.
例：
在开