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2-7泰勒公式
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
则有
在泰勒公式中若2-7泰勒公式
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
由此得近似公式
二、几个常用的Maclaurin公式
注意：
例1、
例2、
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
误差
M 为
在包含 0 , x 的某区间上的上界.
1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;
2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
需解问题的类型:
例3. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过
例4. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 , 试确定 x 的适用范围.
2. 利用泰勒公式求极限
例5. 求极限
练习
计算
解:
原式
3. 利用泰勒公式证明不等式
例6. 证明
由题设对
证:
例7.
有
且
下式减上式 , 得
令
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
当
时为麦克劳林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
(2) 利用多项式逼近函数 ,
两边同乘 n !
= 整数 +
假设 e 为有理数
( p , q 为正整数) ,
则当 时,
等式左边为整数;
矛盾 !
备用题. 证明 e 为无理数 .
证:
时,
当
故 e 为无理数 .
等式右边不可能为整数.
再见