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2二重积分的计算方法
注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;
2）积分次序:
2二重积分的计算方法
注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;
2）积分次序: X-型域 先Y后X;
3）积分限确定法: 投影定限法。
为方便，上式也常记为：
3、Y-型域下二重积分的计算：
同理：
［Y－型域下］
于是
1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y;
注意:
注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。
4、利用直系计算二重积分的步骤
（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；
（3）确定积分限，化为二次定积分；
（2）根据积分域类型, 确定积分次序；
（4）计算两次定积分，即可得出结果.
5 若区域为组合域，如图则：
0
6、如果积分区域既是X－型，
又是[Y－型], 则有
解：
［X－型］
［Y－型］
例2
解： （如图）将D作Y型
-1
2
解：
积分区域如图
x
y
o
2
3
1
原式
解：
原式
解
例6
解：
先去掉绝对值符号，如图
二重积分在直角坐标下的计算公式
（在积分中要正确选择 积分次序）
［Y－型］
［X－型］

三 利用极坐标系计算二重积分
当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比
较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标
系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑
其计算问题。
1 直系与极系下的二重积分关系（如图）
（1）面积元素变换为极系下：
（2）二重积分转换公式：
（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下
的二重积分需要进行“三换”：
2 极系下的二重积分化为二次积分
用两条过极点的射线夹平面区域，
由两射线的倾角得到其上下限
任意作过极点的半射线与平面区域相交，
由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。
将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
（1）区域如图1
具体地（如图）
图1
（2）区域如图2
图2
（3）区域如图3
图3
（4）区域如图4
图4
解
解
解
解
再见