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同济六版高等数学上册总结
同济六版高等数学上册总结
函数与极限
一. 函数的概念
1．用变上、下限积分表示的函数
（1） y，其中连续，则，
（2），其中可导，连续，则
2 两个无穷小的比较
设且
（1）l = 0后再解出y′ 的表达式（允许出现y 变量）
7 对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y′。
对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数
关于幂指函数y = [f (x)]g (x) 常用的一种方法,y = 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
8可微与可导的关系
f (x)在0 x 处可微⇔ f (x)在0 x 处可导。
9 求n阶导数（n ≥ 2，正整数）
先求出 y′, y′′,Λ ,总结出规律性，然后写出y(n)，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n 阶导数公式
,
,
(5),
微分中值定理与导数应用
一罗尔定理
设函数 f (x)满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3） f (a) = f (b)
则存在ξ ∈(a,b)，使得f ′(ξ ) = 0
二拉格朗日中值定理
设函数 f (x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；
则存在ξ ∈(a,b)，使得
推论1．若f (x)在(a,b)内可导，且f ′(x) ≡ 0，则f (x)在(a,b)内为常数。
推论2．若f (x) ， g(x) 在(a,b) 内皆可导，且f ′(x) ≡ g′(x)，则在(a,b)内f (x) = g(x)+ c，其中c为一个常数。
三 柯西中值定理
设函数f (x)和g(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上皆连续；（2）在开区间(a,b)内皆可导；
且g′(x) ≠ 0则存在ξ ∈(a,b)使得
（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）
四 泰勒定理（泰勒公式）
定理 1．（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）
设f (x)在0 x 处有n 阶导数，则有公式
，称为皮亚诺余项
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n ， 所以对常用的初等函数如,sin x,cos x,ln(1+ x)和 （α 为实常数）等的n阶泰勒公式都要熟记。
定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）
设f (x)在包含0 x 的区间(a,b)内有n +1阶导数，在[a,b]上有n阶连续导数，则对x∈[a,b]，有公式 ，
,称为拉格朗日余项
上面展开式称为以0 x 为中心的n 阶泰勒公式。当= 时，也称为n阶麦克劳林公式。
导数的应用：
一 基本知识
1．定义
设函数f (x)在(a,b)内有定义， 是(a,b)内的某一点，则如果点 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点( ≠ x )，总有 <，则称 为函数f (x)的一个极大值，称 为函数f (x)的一个极大值点；
则如果点 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点( ≠ x )，总有 < ，则称 为函数f (x)的一个极小值，称 为函数f (x)的一个极小值点
函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。
2 必要条件（可导情形）
设函数f (x)在处可导，且为f (x)的一个极值点，则。
我们称x 满足的 称为的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
3 第一充分条件
在的邻域内可导，且，则①若当时,，当时，，则为极大值点；②若当时，，当时，，则为极小值点；③若在的两侧不变号，则不是极值点.
4 第二充分条件
在处二阶可导，且，，则①若，则为极大值点；②若，则为极小值点.
二 函数的最大值和最小值
1．求函数f (x)在[a,b]上的最大值和最小值的方法
首先，求出f (x) 在(a,b)内所有驻点和不可导点 x , , x 1 Λ ，其次计算f (x 1) f (x 2) f (a) f (b) k Λ 。最后，比较f (x 1) f (x 2) f (a) f (b) , , , , 1 Λ ，其中最大者就是f (x)在[a,b]上的最大值M ；其中最小者就是f (x)在[a,b]上的最小值m。
2．最大（小）值的应用问题
首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。
三 凹凸性与拐点
1．凹凸的定义
设f (x)在区间I 上连续，若对任