9-2 二重积分的计算法.ppt

9-2 二重积分的计算法
解
8
例10. 关于分块函数在D上的积分.
其中D：0  x  1, 0  y  1
解：积分区域如图
记 f (x, y) = | y – x |
=
y–x, 当y  9-2 二重积分的计算法
解
8
例10. 关于分块函数在D上的积分.
其中D：0  x  1, 0  y  1
解：积分区域如图
记 f (x, y) = | y – x |
=
y–x, 当y  x时,
x–y, 当y < x时,
且区域D1: y  x和D2: y < x分处在直线y=x的上，下方.
故，原式 =
y
x
0
1
1
D
D2
y = x
D1
9
注：分块函数的积分要分块(区域)来积.
另外，带绝对值的函数是分块函数。
y
x
0
D2
1
1
y = x
D1
D
10
解
画图.
11
例12. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为
则所求体积为
12
化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来.
另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。
以上各例说明:
13
引例 计算
其中
故本题无法用直角
坐标计算.
*
0
x
y
x2+y2 
对应有
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
及射线  =常数, 分划区域D 为
15
即
16
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
极点在区域之外
区域特征如图
17
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图（极点在D的边界上）
18
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
（极点在D的内部）
极坐标系下区域的面积
19
例12. 求
其中D：x2+y2  1.
解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用　　极坐标积分。
0
x
y
x2+y2  1
令x=rcos, y=rsin, 则
x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1.
由(2)
D*: 0  r  1, 0    2
20
另由几何意义：
凑微分
21
解
22
例14 计算
其中
解: 在极坐标系下
原式
的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角
由于
故
坐标计算.
0
x
y
x2+y2 
23
注:
利用此例可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
事实上, 当D 为 R2 时,
利用上例的结果, 得
①
故①式成立 .
24
例15 计算
解
25
例16. 求球体
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设
由对称性可知
26
计算
解：心脏线方程，考虑用极坐标。
练习
1、
27
2、
3、
28
2、
3、原式=
30
练习题答案
练习题答案
作 业
习题9-2
10 ;11 (2) (4) ; 13 (1) (4);
14 ; 15 (1) (3)(4).
33
关于二重积分计算的说明：
一、基本方法——化为累次积分（降维数）。
二、关键——选择适宜的坐标系和累次积分的顺序。
根据：
(1) 积分域的形状（分块少，表达简便）
矩形、三角形、边界主要为直角坐标线——直角坐标；扇形、圆域、圆环域边界主要为极坐标线——极坐标；
(2) 被积函数的形式（各层积分中的原函数易求）
含 x2+y2 ——极坐标，一般先r后 的顺序 。
三、利用对称性、轮换对等性化简计算。
四、利用几何意义化简计算。
五、化为二次积分后，各层积分都有：上限>下限。
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