95幂级数.ppt

95幂级数
②
③


收敛半径公式：
例1
求下列幂级数的收敛域
⑴
解：
所以，收敛区间为（-3,3），
故收敛域为[-3,3）
另外：
⑵
解：
故收敛95幂级数
②
③


收敛半径公式：
例1
求下列幂级数的收敛域
⑴
解：
所以，收敛区间为（-3,3），
故收敛域为[-3,3）
另外：
⑵
解：
故收敛域为（-∞，+∞）.
⑶
解：
由于
故收敛区间为（2/3，4/3），
故收敛域为[2/3，4/3）.
⑷
（缺项）
解法1：
解法2：
故收敛区间（-2,2）.
解法3：
直接使用比值判别法
故收敛区间为（-2,2）.
故收敛域为[-2,2].
当幂级数为缺项情形

1. 用Cauchy-Hadamard公式, 辨清

2. 用比值审敛法或根值审敛法及幂级数收敛
域的结构特点来求.

3. 先利用变量代换化为非缺项情形后再用公
式求收敛半径及收敛区间, 之后再通过逆
代换求出原幂级数的收敛区间及收敛半径.
二、幂级数的性质
----(代数性质)
⑴
⑵
⑶
两个幂级数相除：
可利用：


内的任何闭子区间
上一致收敛.
则在
证明：
----连续、可导、可积
设幂级数
的收敛半径为
(Abel第二定理)

连续性定理
当
收敛,
注:1. 更精确的说, 是在收敛域内连续；
.
但收敛域可能会改变,在端点处的收敛性
可能变“坏”, 但不可能变“好”.
2.

积分后幂级数收敛半径不变,
(逐项积分)
但收敛域可能会改变,在端点处的收敛性
可能变“好”, 但不可能变“坏”.
注:
求和函数应用举例
例2
解：
因此有，
例3
解：
三、函数展开成幂级数
⒈
且有：
由此说明：
展开成幂级数是唯一的.
如果

⒉
如果
有任意阶导数，即
形式上：
记为：
既收敛且等式成立时称为能展开
问题：

如：
泰勒级数不收敛
泰勒级数收敛但不收敛到原来的函数

证明：
由Taylor展开：
推论：
证明：
幂展
级
数开
例4.
解：
由于
故可展成幂级数
例5.
解：
解：
例7.
解：
例6.
例8.
例9.
解：
解：
例10.
例11.
解：
例12.
解：
例13.
解：
①
②
③
略去!
考虑端点,可知下式范围与有 关
四、幂级数应用
四则运算（变形）、逐项求导、逐项求积
例1.
解：
解：
求导：
再求导：
例2.
解：
求导得，
例3.
例4.
解：
例5.
解：
五、小结
:
收敛半径R
:
分析运算性质
:
;
;
.
.