D96几何中的应用.ppt

D96几何中的应用68392
例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺
求
旋式上升, 其位置向量为
(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;
(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;
(3) 滑D96几何中的应用68392
例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺
求
旋式上升, 其位置向量为
(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;
(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;
(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
解: (1)
(3) 由
即
即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.
二、空间曲线的切线与法平面
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
置.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位
给定光滑曲线
 在
点法式可建立曲线的法平面方程
利用
点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的
法向量均为
点向式可建立曲线的切线方程
1. 曲线方程为参数方程的情况
因此曲线  在点 M 处的
则 在点M 的切向量为
法平面方程
给定光滑曲线
为0,
切线方程
例4. 求曲线
在点 M (1, 1, 1) 处的切线
方程与法平面方程.
解：
点(1, 1, 1) 对应于
故点M 处的切向量为
因此所求切线方程为
法平面方程为
即
思考: 光滑曲线
的切向量有何特点?
答:
切向量
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
曲线上一点
, 且有
 可表示为
处的切向量为
则在点
切线方程
法平面方程
有
或
也可表为
法平面方程
(自己验证)
例5. 求曲线
在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
切线方程
解法1 令
则
即
切向量
法平面方程
即
解法2 方程组两边对 x 求导, 得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
解得
切线方程
即
法平面方程
即
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
三、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面
通过其上定点
对应点 M,
切线方程为
不全为0 .
则  在
且
点 M 的切向量为
任意引一条光滑曲线
下面证明:
此平面称为  在该点的切平面.
 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
在同一平面上.
证:
在  上,
得
令
由于曲线  的任意性 ,
表明这些切线都在以
为法向量
的平面上 ,
从而切平面存在 .
曲面  在点 M 的法向量:
法线方程
切平面方程
过M点且垂直于切平面的直线
称为曲面  在点 M 的法线.
曲面
时,
则在点
故当函数
法线方程
令
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
在点
有连续偏导数时,
切平面方程
法向量
法向量
用
将
法向量的方向余弦：
表示法向量的方向角,
并假定法向量方向
分别记为
则
向上,
复习
例6. 求球面
在点(1 , 2 , 3) 处的切
平面及法线方程.
解: 令
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:
切平面方程
即
法线方程
法向量
即
(可见法线经过原点，即球心)
例7. 确定正数 使曲面
在点
解: 二曲面在 M 点的法向量分别为
二曲面在点 M 相切, 故
又点 M 在球面上,
于是有
相切.
与球面
, 因此有
1. 空间曲线的切线与法平面
切线方程
法平面方程
1) 参数式情况.
空间光滑曲线
切向量
内容小结
切线方程
法平面方程
空间光滑曲线
切向量
2) 一般式情况.
空间光滑曲面
曲面  在点
法线方程
1) 隐式情况 .
的法向量
切平面方程
2. 曲面的切平面与法线
空间光滑曲面
切平面方程
法线方程
2) 显式情况.
法线的方向余弦
法向量
思考与练面
与椭球面
相切,
提示: 设切点为
则
(二法向量平行)
(切点在平面上)
(切点在椭球面上)
证明 曲面
上任一点处的
切平面都通过原点.
提示: 在曲面上任意取一点
则通过此
作业
P99 2，4，6，7，10，11，12
2. 设 f ( u ) 可微,
第七节
证明原点坐标满足上述方程 .
点