初中数学二次函数知识点汇总.docx

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1■疋义：一般地，如果y二ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)，那么y叫做x的二次函数.

抛物线y二ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.
函数y二ax2的图像与a的符号关系.
两组不同的解时ol与G有两个交点；②
y=ax2+px+c
方程组只有一组解时o1与G只有一个交点；③方程组无解时o1与G没有交点.
（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A（x,0）B（x,0）,
12
由于x、x是方程ax2+bx+c=0的两个根，故
12
bc
x+x=一一,x-x=
12a12a
AB=|x-x|
.(x-xJ2
12
=gJ-4%3=：'
\b2-4ac
a|
lal
二次函数的解析式有三种形式:
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常数'a丰0）
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,k是常数，a丰0）
（3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2+bx+c=0有实根x和x
12
7
12
4
存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c=a（x-x）（x-x），二次函数y=ax2+bx+c可转
12
化为两根式y=a（x-x）（x-x）。如果没有交点，则不能这样表示。
考点三、二次函数的最值（10分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大
b4ac-b2
值（或最小值），即当x=—亍时，y=—-——。
2a最值4a
b
如果自变量的取值范围是x<x<x，那么，首先要看-：—是否在自变量取值范围x<x<x内,
122a12
b4ac-b2
若在此范围内，则当x=-时，y=；若不在此范围内，则需要考虑函数在x<x<x范
2a最值4a12
围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x二x时，y二ax2+bx+c,当x二x2最大221
时，y二ax2+bx+c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x二x时，y二ax2+bx+c，
最小111最大11
当x=x时，y=ax2+bx+c。
2最小22
考点四、二次函数的性质（6~14分）1、二次函数的性质
函数
二次函数
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)
a>0
a<0
yf|
11
1
A
图像
x
|—0~x
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
b一b
（2）对称轴疋x=，顶点坐标疋（，
2a2a
b一b
（2）对称轴疋x=，顶点坐标疋（，
2a2a
4心b2)
4ac—b2)
4a'
4a'
性质
b
b
（3）在对称轴的左侧，即当xv时，y随x
2a
（3）在对称轴的左侧，即当xv时，y随
2a
的增大而减小；在对称轴的右侧，即当
x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
b
x>时，y随x的增大而增大，简记左减
2a
b
x>时，y随x的增大而减小，简记左
2a
7
12
4
右增；
增右减；
8
12
4
（4）抛物线有最低点，当x=-时，y有最小
2a
4ac-b2值，y最小值=~7r~
（4）抛物线有最高点，当x=-时，y有最
2a
4ac-b2
大值，y最大值=rr"
2、二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a丰0）中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0
时，抛物线开口向上,，，a<0时，抛物线开口向下
b
b与对称轴有关：对称轴为x=--
2a
c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0,c）
3、二次函数与一元二次方程的关系
兀二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的A=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当A>0时，图像与x轴有两个交点；
当A=0时，图像与x轴有一个交点；
当A<0时，图像与x轴没有交点。
二次函数知识点：：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a丰0）
的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a乂0，而b,c可以
为零．二次函数的定义域是全体实数．
=ax2+bx+c的结构特征:
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
二次函数的基本形式
总结