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代数式-因式分解
2013-08-23 中考复习
一、基础知识
1）因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2）因式分解的常用方法
①提公因式法：ab+ac=a(b
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”

二、练习题及答案
【例1】分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
【解析】原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

【例2】求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
【解析】原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

【例3】△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
【解析】此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．∴(a-c)(a+2b+c)=0．∵a、b、c是△ABC的三条边，∴a＋2b＋c＞0．∴a－c＝0，即a＝c，△ABC为等腰三角形。

【例4】把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
【解析】-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．

【例5】利用因式分解求最大公约数：对于任意的正整数 n，所有形如 n³＋3n²＋2n 的数的最大公约数是什么？
【解析】答案：n³＋3n²＋2n＝n(n＋1)(n＋2)。因为 n、n＋1、n＋2 是三个连续的正整数，所以其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数。所以n³＋3n²＋2n＝n(n＋1)(n＋2)一定是6的倍数，因为n³＋3n²＋2n 的最小值是6，所以形如 n³＋3n²＋2n 的数的最大公约数是6.