恒生指数收益率建模.docx

基于GARCH模型的金融资产收益波动率的研究
—以恒生指数为例
【摘要】在金融领域中，金融资产收益率的条件方差通常作为对资产风险的一种度量，它是金融资产定价的数学理论以及在险价值计算的重要组成部分。本文以恒生指数的月收益率作为样本数据，归所得到的拟合优度，(S=丄£€2。
Tt-q
t=1
ARCH模型最常用的估计方法是极大似然估计，其对数似然函数为
L(0)二另Inf(rIX,0)二--ln(2兀)--另lny2-1另£-X；b)2
ff2y2
t
tt
t=1
21=1
t=1
e=(o,e，…,e)，利用优化
"“q
()
式中，0=[b',a']'，b=(b,b,b，…,b)'，
012k-1
方法即可得到参数向量9的一致估计量。
，GARCH(p，q)模型可以表为
r=X'b+£,£=y耳
()
tttttt
y2=o+Xe£2+迟P
tit-iit-i
i=1i=1
GARCH模型不仅能揭示金融市场的“波动聚集性”特征，而且可以揭示“厚尾”特征。例如一个GARCH(1，1)模型的波动方程：
()
式中e，P>0保证条件方差的正定性；e+卩<1保证该模型为平稳的
件峰度满足：
111
t
k=_E!±=3[1-(e1+p1)2]>3
()
GARCH模型。可以证明，若1-2e2-(e+p)2>0，容易得到模型表示的｛r｝无条
[E(£2)]21-2e2—(e+p)2
1111
t111
从而可以刻画那些比正态分布更厚尾部的金融时间序列。
一个GARCH(p,q)模型可以通过两步法来确定其滞后阶数。对于残差序列
｛£｝，由于£2是y2的无偏估计，可以使用£2的偏自相关函数来确定ARCH部分
tttt
的最优滞后阶数q*。在q*给定的前提下，可以使用AIC或者BIC准则确定GARCH部分的最优滞后阶数p*。
GARCH模型最常用的估计方法是极大似然估计，定义
Z=[1,£2,£2，…,£2；y2，…2]'
tt—1t—2t—qt—1t—p
8=[o,e，…,e;p，…,p]'=[e',p']'
1q1p
0=[b',a',0']'=[b',8']'
a=[o,e,e，…,e]'，p=[p,卩，…,卩]'
12q12p
则y2=8'Z=Z'8，在随机变量r服从正态分布下，其条件密度函数为:
tttt
f(rIX,9)二=exp
tt；2兀a2
"t
对于T个观测值下的对数似然函数为：
—(r—X'b)2
tt-
2a2
t
()
tt
t=1
L(0)=另lnf(rIX,0)=—Tln(2兀)-1另lna2-1另ln匸
22t2a2
t=1t=1t
参数向量9的最大似然估计9为方程组雲=0的解。
50
()
若GARCH模型建立恰当，它的标准化残差序列~=旦应该服从独立同分布,
ta
t
且具有零均值和单位方差。可以使用Ljung-Box统计量分别检验｛~｝和｛~2｝来
tt
估计GARCH模型中均值方程与方差方程设定的正确性；通过｛~｝的Q-Q图识别分
t
布假设的正确性。
在GARCH模型预测中，最核心的为条件方差(波动率)预测。对于式()定义的GARCH(p,q)模型,为得到其向前l步预测，可以将方差方程向前递推l步:
a2=co+〉：CX£2+迟p工(a迟(a
t+lit+l—1it+l—1it+l—1it+l—1it+l—1it+l—1
i=1i=1i=1i=l
因此，对方程两边同时使用条件期望，可得：
E(a2)=co+工(a++乞(a
t+liit+l—1it+l—1it+l—1
i=1i=l
这样可以通过递归方式对条件方差进行求解，从而得到波动率的向前l步预测结果。
3实证分析
实证分析部分以恒生指数1989年12月1日到2012年12月31日数据作为内部数据建立模型，以2013年1月1日到2013年11月30日数据作为实验外部数据。恒生指数是香港股市价格的重要指标，指数由若干只成份股(即蓝筹股)市值计算出来的，代表了香港交易所所有上市公司的12个月平均市值涵盖率的63%。图表1展示了HSI数据的时间序列图。数据呈现出总体上升的趋势，并且具有随着股价增加波动幅度更大的迹象。令｛p｝表示时间序列，第t天的收益
t
率定义为:
r二[log(p)—log(p)]x100
ttt—1
分别计算样本的月收益和日收益，并画出收益的时间序列图。如图表2和图表3,该图显示出收益率在一些时期波动更大，特别是在1997年到1998年间，