函数的单调性.ppt

函数的单调性87946
O
x
y
从下列变化，你能得出什么结论？
O
x
y
如何用x与 f(x)来描述上升或下降的图象？
O
x
y
数学建构：单调性定义
一般地，设函数y＝f(x)函数的单调性87946
O
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从下列变化，你能得出什么结论？
O
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从下列变化，你能得出什么结论？
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y
从下列变化，你能得出什么结论？
O
x
y
从下列变化，你能得出什么结论？
O
x
y
如何用x与 f(x)来描述上升或下降的图象？
O
x
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数学建构：单调性定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数， I称为y＝f(x)的单调增区间．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数， I称为y＝f(x)的单调减区间．
数学建构：定义剖析
（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
函数图象从左到右逐渐上升
函数图象从左到右逐渐下降。
递减
递增
数学建构：定义剖析
（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。
有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。
数学建构：定义剖析
函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，x1x2具有任意性，不能用特殊值代替
（3）x1,x2的任意性
数学应用：
例1、如果定义域为A的函数y＝f(x)的图象如图所示．
针对图形，指出哪些函数是A上的单调增函数，哪些函数是A上的单调减函数．
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
(1)
(2)
(3)
(4)
数学应用：
（1）二次函数y＝x2＋2x－1
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
x
y
O
在区间(－，－1)上单调递减，在区间(－1，＋ )上单调递增．
在区间(－，－1)上是减函数，在区间(－1，＋ )上是增函数．
二次函数y＝x2＋2x－1的减区间是(－，－1)，增区间是(－1，＋ )．
：
x
y
O
（2）反比例函数y＝
在第一象限，y随x的增大而减小，
在第三象限，y随x的增大而减小．
在区间(0，＋)上单调递减，在区间(－，0)上也单调递减．
数学应用：
在区间(0，＋)上是减函数，在区间(－，0)上也是减函数．
函数y＝ 的减区间是(－，0)和(0，+)．
注：函数y＝ 的减区间不能表示为(－，0)∪(0，+)．
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
-4
-2
2
4
6
8
-3
3
1
-2
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-2
-1
6
5
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8
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5
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-4
-2
2
4
6
8
-3
3
1
-2
-1
-2
-1
可以发现，上下平移,(-∞,0)和(0,+∞)
思考：左右平移会改变函数的单调区间吗？试比
较 的单调区间
你发现了吗？
注意：1）单调区间和定义域的关系
2）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。
 
3）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。
数学应用：单调性的证明
例4、证明函数
。
证明：设
是R上的任意两个实数，且
，则
，
所以，
在R上是增函数。
在R上
是增函数。
数学应用：单调性的证明
例5、求证：函数 在