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函数的连续性65065
(2)若x0为f(x)的间断点,且f(x0－0)与f(x0+0)至少有一个不存在,则称x0为f(x),若f(x0－0) ,f(x0+0)中至少有一个为无穷大,则称x0为无穷间断点;否则称x0函数的连续性65065
(2)若x0为f(x)的间断点,且f(x0－0)与f(x0+0)至少有一个不存在,则称x0为f(x),若f(x0－0) ,f(x0+0)中至少有一个为无穷大,则称x0为无穷间断点;否则称x0为非无穷第二类间断点.
(1)若x0是f(x)的间断点,且左、右极限f(x－0), f(x+0)皆存在,则称x0为f(x),若f(x0－0)=f(x0+0)≠ f(x0) 或f(x0)无定义,则称x0为f(x)的可去间断点(重新定义f(x0)=f(x0－0)=f(x0+0) 可消去间断);若f(x0－0)≠f(x0+0) ,则称x0为跳跃间断点.
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二、连续函数的性质
(连续函数的四则运算) 设f(x)与g(x)在点x0(或区间I上)连续,则
(1)f(x)±g(x) 在点x0(或I上)连续;
(2) f(x) g(x) 在点x0(或I上)连续;
(3)当g(x0)≠0 (或g(x0)≠0,x∈I )时, f(x)/ g(x) 在点x0(或在I上)连续.
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由 在x0连续和上式,可得
(复合函数的连续性) 设函数y=f(u)在点u0连续, 在点x0连续,且 ,则复合函数 在x0连续,即有
注意：
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(反函数的连续性) 设函数y=f(x)在区间[a,b]上单调、连续,且f(a)=α,f(b)=β,则其反函数y=f－1(x)在区间[α,β]或[β,α]上单调、连续.
基本初等函数在其定义域内连续.
初等函数在其定义区间内连续.
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求下列极限:
为常数.
解 (1)由对数函数连续性,得
=ln e
=1.
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(2)令u=ax－1,则 .由指数函数ax的连续性知, x→0时, u→0 ,
于是,由本例(1),得
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(3)由于
其中
由本例(1))
由本例(2))
所以
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我们又得到如下等价无穷小:
时
时
时
知识链接：
①
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求 .
解 令u=ax,则x→0 时, u→0 ,且有
而
于是
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故f(x)在 内连续.
讨论函数
的连续性.
解 f(x)在(－∞,2)内f(x)=1－e1/(x －2) 为初等函数,在[2,+∞)内f(x)=sin(π/x) 也为初等函数,
在分段点x=2处,有
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因此, f(x)在x=2处既左连续又右连续,从而f(x)在x=2处连续.
综上所述,f(x)在其定义域(－∞,+∞)内连续.
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三、闭区间上连续函数的性质
设函数f(x)∈I,使对I内的一切x,恒有
或
则称f(x0)是f(x).
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(最值定理) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b][a,b]上至少存在两点x1,x2,使对任意的x∈[a,b],恒有
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(介值定理) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)在[a,b]上的最大值为M、最小值为m,则对任何实数C,m<C<M,至少存在一点x0∈(a,b),使得
f(x0)=C
闭区间上的连续函数一定是有界函数.
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(零值定理) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则至少存在一点x0∈(a,b),使得
f(x0)=0
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注意:
(1)最值定理与介值定理的几何意义.
(2)最值定理与介值定理中的条件“f(x)在闭区间上连续”是重要的,否则定理不一定成立.
(3)零值定理()的几何意义.
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证明方程ex－3x=0 在(0,1)内至少有一个实根.
解