圆的方程 (3).doc

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圆的方程
【知识要点】
一、圆的标准方程
1、圆的定义
圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 由此我们可知：以过定直线与定圆的交点的圆系方程
过定直线：和定圆的交点的圆系方程为.
2、过两圆的交点的圆系方程
过两圆和的交点的圆系方程为，特别地，当时，该方程表示两圆公共弦所在直线的方程.
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【例题解析】
题型1 圆的定义
若方程表示圆，则_______.
解：方程表示圆
（ⅰ）若，则原方程即为，亦即，表示圆；
（ⅱ）若，则原方程即为，亦即
这里，.
由于
因此，方程不表示任何图形。
故
题型2 圆心到直线的距离
圆的圆心到直线的距离为1，则_______.
解：圆的标准方程为，圆心为（1，4）
圆心（1，4）到直线的距离为1
题型3 圆的标准方程和一般方程
经过坐标原点和点，且圆心在直线上的圆的方程为_______.
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解：，OP中点为
OP的中垂线方程为，即
所求圆的圆心在直线上，而弦OP的中垂线也过圆心
联立可得，此即所求圆的圆心为（4，-3）
又圆的半径
故圆的方程为
经过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______.
解：，AB中点为
AB的中垂线方程为，即
所求圆的圆心在直线上，而弦AB的中垂线也过圆心
联立可得，此即所求圆的圆心为（-2，-1）
又圆的半径
故圆的方程为
若圆心在轴上、半径为的位于轴左侧，且与直线相切。则的方程为_______.
解：设圆心为，由题意知，
与直线相切
圆心到直线的距离等于半径
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于是有，舍去
故的方程为
已知圆的半径为，圆心在直线上，且圆被直线所截得的弦长为。则圆的标准方程为_______.
解：由于半径、半弦、弦心距构成一个直角三角形
因此弦心距
又所求圆的圆心在直线上
所以可设所求圆的圆心为
于是有
故所求圆的标准方程为
经过，两点，且在轴上所截得的弦长为6的圆的方程为_______.
解：设所求圆的方程为
由于圆过，两点
因此①，②
又圆被轴所截得的弦长为6，设该弦左端点为,右端点为
则
由得，
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于是由，有③
由①②③得，或
故所求圆的方程为或
经过，两点，且在轴上所截得的弦长为的圆的方程为_______.
解：设所求圆的方程为
由于圆过，两点
因此①，②
又圆被轴所截得的弦长为，设该弦上顶点为，下顶点为
则
由得，
，
于是由，有③
由①②③得，或
故所求圆的方程为或
题型4 与圆的有关的最值问题
在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD。则四边形ABCD的面积为_______.
解：圆，即，圆心为，半径
圆内过点的最长弦为，
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最短弦为.
故
【方法总结】（ⅰ）直径是圆内最长弦；在所有过圆内某点的弦当中，垂直于过该点的直径的弦最短。
下证：
证明：
而，当且仅当“”时，“”成立。
这表明，当取得最小值时，.
又是圆内过点的直径
故
对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线乘积的一半。
已知实数满足方程.
求的最大值和最小值；
求的最大值和最小值；
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求最大值和最小值.
解：方程，即表示圆，该圆圆心为，半径
（1）令，则
当直线与圆相切时，其斜率取得最大值和最小值
于是有
故，
令，则
当直线与圆相切时，其斜率取得最大值和最小值
于是有
故，
表示圆上的点与坐标原点之间的距离的平方
由平面几何知识知，在坐标原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值
由于坐标原点到圆心的距离为2
因此；
.
【方法总结】与圆有关的最值问题，可借助图形，利用数形结合求解。一般地：
（ⅰ）形如的最值问题，可转化为动