基本不等式与利用均值不等式求最值.doc

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基本不等式

一、知识回顾

（1）
（2）（当载
用：.
10．a>b>0则的最小值______________.
11．已知x2+y2=1，求(1－xy)(1+xy)的最值。
12．将一块边长为42cm的正方形铁皮剪去四个角（四个全等的小正方形）做成一个无盖铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为_________________cm.
13．某工厂生产机器产品第二年比第一年增长的百分率P1，第三年比第二年增长的百分率为P2， 第四年比第三年增长的百分率为P3，设年平均增长率为P，且P1+P2+P3为定值，则P的最大值为____________________.
14、某公司租地建仓库，每月士地占用费y与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费y与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这这两项费用y和y分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站___________.
15、一批救灾物资随17列火车以v千米/小时的速度匀速直达400千米处的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于千米，问这批物资全部运到灾区最少需要____小时.
16．求半径为R的球的内接圆柱的体积的最大值，且求出圆柱体积最大时的底面半径.
利用均值不等式求最值的九种技巧
　利用均值（基本）“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，“定和”或“定积”的技巧，供同学们参考.
　　一、 添、减项（配常数项）
　　例1 求函数y=3x2+162+x2的最小值.
　　分析 3x2+162+x2是二项“和”的形式，但其“积”+x2可与x2+2相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即y=3x2+6+162+x2-6，再用均值不等式.
　　解 x2+2＞0,y=3x2+162+x2=3(x2+2)+162+x2-6
　　≥23(2+x2)·162+x2-6=83-6,
　　当且仅当3(2+x2)=162+x2，即x2=433-2时,等号成立.
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　　所以y的最小值是83-6.
　　评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.
　　二、 配系数（乘、除项）
　　例2 已知x＞0，y＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值.
　　分析 lgx+lgy=lg(x+y),xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x+y是否定值，
　　而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为3x·2y6，再用均值不等式.
　　解 x,y＞