定积分不等式.doc

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第三章 一元积分学
第三节 定积分值的估计及不等式
定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，成不同符号则可化为二重积分：
而左边亦可化为二重积分：
这样就化为二重积分的比较了。
证：令
则
同样可得
两式相加得
故
结论得证。
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注：本题是通过化为二重积分来证明，这也是有用的方法。仔细体会这个证明过程并用此方法去证一下柯西不等式及上一例题。
凹凸性及平均值等式
例7．设在上连续，且为凹函数即对，及有
　
证明：
证明：
从而得左过得不等式，下证右过不等式
，有
从而
两边积分得
于是得右过不等式．
注：能看出该不等式的几何意义吗？
个正数的算术平均、几何平均、调和平均有如下关系：
　
我们把以上关系推广到积分形式：设正值连续，则
　　　　　　　　　　　　　　　（１）
上面不等式中的第一项称为在上的调和平均，第二项称为在上的几何平均，第三项称为在上的算术平均．还可推广到加权平均的形式：
，其中为正值连续函数　（２）
下面证一下（1）
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对于任意，有　　　　　　　
　取，则
，
两边在上积分，并注意到不等式右边最后一项的积分为零，得
即
下证左过不等式：左过不等式等价于，这就是右边不等式。
也可以这样去证（本质上相同），。
对于任意，有　　　　　　　
　取，则
，
两边在上积分，并注意到不等式右边最后一项的积分为零，得
（２）的证明与（1）类似。
对于任意，有　　　　　　　
　取，则
，从而
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两边在上积分，并注意到不等式右边最后一项的积分为零，得
即
把右边不等式的换成，便得上式．
分析上面证明过程，可以发现关键用到了：的二阶导大于零及．因此有下面一般的结论：
设在上连续，且，在上有二阶导数，且，则
　　　　　　　　　　　　　　（３）
更一般情形是
设在上连续，且，在上有二阶导数，且，则
　　　　　　　　　　　　　　（4）
注：，则上面不等式变号．同学可仿（2）的证明去证一下（3），（4）
练习题:
证明:
(,而)
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证明:
（左－右＝，然后用利用对称性计算积分的有关公式）
证明:
（通过换元将左、右积分分别比为和，然后比较被积函数的大小便可得结论）
设表示椭圆的周长，证明：
（由弧长公式可得，
由可得左边不等式，再用积分的柯西不等式可得右边不等式）
设在上有一阶连续导数，证明：
（若在上不变号，不等式成立；若变号则存在，使得，由　，可得结论．）
设在上连续可导，证明对，有
　
（由积分中值定理知，再由可得结论）
设在上连续可导，且，证：
　
（利用）
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设在上连续可导，且，证：
（,
再用柯西不等式)
设在上连续可导，且，，证：
　
（令，利用导数证明）
１０．（１）设在上有二阶连续导数，且，证明：
　　　　
　（２）设在上有阶连续导数，，
　　，证明：
　
（（1）利用上一节中例10的（1），（2）是（1）的推广，先证明：
，其中）
１１．设在上有二阶连续导数，且证明：对有
　
（左）
１２．设在上有二阶连续导数，且，证明：
　　　
（　，利用上题有
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而当时总有　）
１３．设在上连续可导，且，证明：
　
（左
而）
14．设在上连续且单调增加，且连续，求证：
　　
15．设在上连续，且，证明：
　　　
（左边不等式可用二重积分或柯西不等式去证，左边不等式与条件“”无关，但需“”。右边不等式的证明有一定难度：
）
１６．设在上连续，且单调减少，证明：
　　　
（用二重积分证明）
１７．证明：
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（，，其中，便可得左边不等式．