15极限运算法则.ppt

第一章一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第五节极限运算法则一、极限的四则运算法则,)( lim ,)( lim BxgAxf??则有??)]()( lim[ xgxf)( lim )( lim xgxf? BA??定理 3 .若机动目录上页下页返回结束?)]()( lim[ xgxf)( lim )( lim xgxf BA?(1) (2) 推论 1 .)( lim )]( lim[ xfCxfC?( C为常数)?)( )( lim xg xf)( lim )( lim xg xf )0(,??BB A (3) 机动目录上页下页返回结束时, 有??,, min 21????,0???,0 1???当100????xx 时, 有,0 2???当200????xx 时, 有取则当???? 00xx ?????????|)(||)(|)( )]()([ BxgAxfBAxgxf 定理 3(1)的证明 2)( ???Axf 2)( ???Bxg 机动目录上页下页返回结束时, 有,0???当时, 有当时, 有取则当?????????|)(||)(|)( )]()([ BxgAxfBAxgxf 定理 3(1)的证明,0 1??X 1||Xx? 2)( ???Axf,0 2??X 2Xx? 2)( ???Bxg??,, max 21XXX?Xx?时, 有,0 1???当100????xx 时, 有,0 2???当200????xx 时, 有取则当???? 00xx ?|)|(|)( ||||)(| |)(||)()()(|)( )]()([ AM BxgAAxfM AB x Ag x Ag xgxf AB xgxf ???????????定理 3(2)的证明,使得及00,)( lim 0 0???????M Bxg xx?时, 有,)( lim ,)( lim 0 0BxgAxf xx xx?????又,0???? 000????xx .)(M xg????Axf)(???Bxg)( ??,,, min 210?????定理 3 (3) 的证明证: , 1)( 1 lim Bxg ?只需证明 Bxg 1)( 1???令.)( 1)( )(BxgxgB xgB???????则.)(是无穷小其中 Bxg???, 因0)( lim??Bxg . )( 1 是无穷小且有界, 则B xg ??. 是无穷小故?, 1)( 1???Bxg 因此. 1)( 1 lim Bxg ?则说明:定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形. 机动目录上页下页返回结束推论 2 .nnxfxf])( lim [ )]( lim[ ?( n为正整数) 次多项式,)( 10 nnnxaxaaxP?????试证).()( lim 0 0xPxP nnxx??证:??)( lim 0xP nxx 0axa xx 0 lim 1????? nxx nxa 0 lim ?)( 0xP n?定理 , lim , lim ByAx nn nn??????则有)( lim )1( nnnyx???nnnyx ?? lim )2(,00)3(时且当??By nB Ay x n nn??? lim BA??BA?提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理 3 直接得出结论. 机动目录上页下页返回结束例 ,)( )()(xQ xPxR?其中)(,)(xQxP 都是多项式,,0)( 0?xQ 试证: .)()( lim 0 0xRxR xx??证: ??)( lim 0xR xx)( lim )( lim 0 0xQ xP xx xx??)( )( 0 0xQ xP?)( 0xR?说明:若,0)( 0?xQ 不能直接用商的运算法则. 若机动目录上页下页返回结束 x = -2 时分母为 0 例4 (有理函数-分母不为零) 例5. 15 5??型的不定式 0 0 (技巧-约分) 23 42 lim 2 21?????x xx x65 2 lim 2 22??????xx xx x)3 )(2( )1 )(2( lim 2???????xx xx x3 1 lim 2?????x x x31 ??3??