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三角函数性和e指数形式的傅里叶变换
三角级数、傅里叶级数
对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开：
1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……
显然
三角函数性和e指数形式的傅里叶变换
三角级数、傅里叶级数
对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开：
1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……
显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn……
一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。
 
傅里叶级数的复数形式
根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1，e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示
 
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由于存在关系式:e^j-wt=cos-wt+j*sin-wt,再联想一个信号在三角函数系上的展开,可以认为上述傅里叶变换的意义是得到信号x(t)实部的cos-wt系数以及x(t)虚部的sin-,sin的奇函数性质以及j*j=-1这一定义,对于某一个特定的w',出现在变换式左边的将是x(t)实部的cosw't系数以及x(t)虚部的sinw't系数,两者的加和显然可以用e^jwt的系数表示.
 
假如直接以几何意义来思考,为什么傅里叶变换式两端正负号不一致,,在周期[-pi,pi]上,只有coswx与coswx的乘积不为零,,一条螺旋线与它自身的乘积再做积分却是零,,可以认为一维是一种特例,而二维是较普遍的表达,也可以认为实数的共轭是它本身,而复数共轭虚部相反.
 
连续频谱意义 
现在来看连续谱线的含义,它与概率密度函数一样,只有相对的意义,也就是说,在频谱上高度相同的两点,只表示这两点含对应频率给信号的贡献相同,,任何一点的概率取值都是零,,或者说是"极限"
带来的困绕,因为物理世界中,时间,能量,都有最小量值,,我们可以仅仅把微积分看作只是一种数学处理,对微小离散累