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定积分概念
适用于教师试讲、学校演讲、教学课件、说课大赛
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前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数,这样一个积分学的基本问题——不定积分.
这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定:
其长度记为
过各分点作 x 轴的垂线，
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形.
其面积记为
于是，大的曲边梯形的面积A为
I. 分割(或化整为零)——任意划分
(如右图)用分点
将区间[a ,b]任意地划分为n个小区间
o
x
y
y=ƒ(x)

. . . . . . .
（以直代曲）----任意取点
近似：每个小曲边梯形面积用小矩形面积近似计算：
在每个小区间
上任取一点
以 为高、以小区间 的长度为底
则该窄矩形的面积
作窄矩形.
近似等于 , 即
o
x
y
y=ƒ(x)

o
x
y
y=ƒ(x)

. . . . . . .
显然，A的近似值与[a, b]的分法及 的取法有关.

对上述和式取极限得曲边梯形的面积：
定积分
x
y
O
a
b
y= f (x)
记各小区间的最大长度为
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度
二、定积分的定义
定义 设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点
在每个小区间
将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间的长度为
作和式
若当 时, 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 的取法无关,
则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I 为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
即
上任取一点
定积分的记号
我们将函数f(x)在[a,b]上的定积分记为：
积分变量
被积函数
积分下限
积分上限
其中
---积分符号
---被积函数
---积分变量
---被积表达式
---积分下限
---积分上限
---积分区间
注: f(x)在[a,b]上定积分存在,亦称f(x)在[a,b]上可积。
---积分和
关于定积分定义的说明
① 定积分是一种特殊的和式(黎曼和)的极限,
其结果是
一个数值.
不定积分是一组函数，但两者有联系.
的分割方法和 每个小区间上点,在计算
② 定积分只与被积函数 f(x)和积分区间[a,b]有关,与区间
某些定积分时,可选择特殊的区间分法,如等分；选择特殊
的点i ，如区间端点.
③ 定积分与积分变量的记号无关，即
通常定积分的积分下限小于积分上限,即a < b,而当a > b时,
o
x
y
y=ƒ(x)

. . . . . . .
设a < b
⑤ 规定：
无界函数不可积;
若 f (x)在[a, b]上无界,则 f (x)在[a, b]上不可积;
证明：因为 f (x)在[a, b]上无界,所以对[a, b]的任何一种分割,至少存在某个子区间（不失一般性,设存在一个子区间） 使得f (x)在 上无界,而在其余区间上均有界,即
从而 f (x)在[a, b]上不可积;
⑨ 闭区间上有有限个间断点的有界函数一定可积.
⑧ 闭区间上的连续函数一定可积。
⑦ 若 f (x)在[a, b]上可积,则 f (x)在[a, b]上有界;
例 利用定积分定义计算定积分
可将区间[0, 4] 特殊分割并特殊取点.
解 因ƒ(x)=2x+3 在 [0, 4] 上连续,
故它在[0,4]上可积, 从而
不妨将区间[0, 4] n 等分,且相应的分点为
取右端点为
·
0
·
4
·
·
·
·
例：
将和式的极限
表示成定积分。
解：
例 将和式的极限
表示成定积分。
解：
三、定积分的几何意义
⑴ 若在区间[a, b]上 f(x)≥0,则
⑵若在区间[a, b]上 f(x)≤0,则
⑶一般地， f(x)在区间[a,b]上可积且有正有负时,则
从而该曲边梯形如右图所示,
四、定积分的性质
性质1：
分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？
（假设所讨论函数都可积）
性质2．(和、差的运