定积分第五节.ppt

定积分第五节
收敛于
发散.
当
时,
当
时,
例4. 考察下列函数的敛散性：
注意到当
时，
故对任意A>e,
由极限的保序性，得
一般结论：如果
发散，且当x 充分定积分第五节
收敛于
发散.
当
时,
当
时,
例4. 考察下列函数的敛散性：
注意到当
时，
故对任意A>e,
由极限的保序性，得
一般结论：如果
发散，且当x 充分大时恒有
则
发散.
如果
收敛，且当x 充分大时恒有
则
收敛.
例5. 讨论广义积分
的敛散性。
解：
当
时，由于
故原广义积分发散。当
时，
二、 无界函数的广义积分(瑕积分）

且
若极限
存在,
称该极限值为函数
在
上的广义积分，a叫瑕点
记作:
即
这时也称广义积分
收敛,否则发散.
设函数
在
上连续，
类似，设函数
在
上连续，
且
定义
设函数
在
外连续，
上除点
定义
注意：当且仅当右边两个广义积分都收敛时，左端的广义
积分收敛，否则发散.
例1. 计算广义积分
解. 因
所以
另解
例2. 讨论广义积分
的敛散性.
解
在
外连续，
上除点
且
因
所以,原广义积分发散.
另解
所以,原广义积分发散.
因

当
时,收敛于
当
时,发散.
证. 当
时,
当
时,
得证.
当
时,收敛于
当
时,发散.
当
时,收敛于
当
时,发散.
注意对照！
当
时,收敛于
当
时,发散.
结论
例4. 计算
解
例5. 计算
解
所以,
练习：判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，求出其值。
解：
注：如果只需要判断上述广义积分的敛散性，而不要求其
具体值，则有更简单的办法。
注意到当
时有
而广义积分
是收敛的，所以广义积分
也是收敛的。
求极限
解：令
则
取
将区间
分成
个小
小区间
在第
个小区间
上取
则
的敛散性
解：
由于
所以

的敛散性。
解：当
时，
当
时，
且
所以
综上所述，当
时
收敛；
当
时，
故
收敛；
当
时，
故
发散。由以上讨论得到

时，
收敛；

时，
发散；
注：
被称为
（Gamma，伽马）函数，其定义域为
即
一个非常有用的性质：
再见