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极限计算方法总结
〈〈高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是〈〈高等数学》的重要组成部的连续性
（定理6）求极限
12_X
例4limxexx—21
2
解：因为xo=2是函数f（x）=xex的一个连续点,1
所以原式=2e2=4y/e。
利用两个重要极限求极限1-cosx
例5lim2—x>o3x2x2x2sm—2sin-2・.21
解：原式=lim产=lim—=-。
x)。3xx>ox263x12(一)262
注：本题也可以用洛比达法则。
2
例6lim°(1-3sinx)x
解：原式=°m(1-3sinx)^^十=lJm[(1-3sinx)^^]^^=e^n-2n
例7lim()n—■n1n1_3nn1-3n
解：原式=lim(1圣)5c=lim[(1圣)二]^=e'。
nn1/n1利用定理2求极限例8limxx「0
—x解：原式=0
（定理2的结果）。
利用等价无穷小代换（定理4）求极限xln(13x)
例9lim2xRarctan(x)2、2
解：•xt0寸，ln(1+3x)〜3x,arctan(x)〜x,原式=些耕=3。
xsinxe-e例10lim7x-sinxesinx(ex*nx-1)解：原式=limJ0x-sinx
_sinx/e(x-sinx),=lim=1。xQ
x-sinx
注：下面的解法是错误的
xsinx、(e-1)-(e-1)原式=limx)0x—sinx
=limx_0
x-sinx,=1。x「sinx
正如下面例题解法错误一样
tanx-sinxlim3=limx)0x3x「0
x一x-—=0。3x
2•1\tan(xsin—)x例11limJ0sinx
111…解：罗少xt0时，xsin一是无为小，二tan（xsin—）与xsin—等价，xxx
-„x1所以，原式=lim=limxsm—=0。(最后一步用到定理2)x)0xx>0x
：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。
1-cosx例12lim=（例4）x03x解：原式胡四胃:二*°（最后一步用到了重要极限）
■xcos——例13limIx-1
JT
-—sin
解：原式=lim一2x1
例14limx)0
x-sinx
1-cosxsinx1解：原式=妙3x2=xmo~6^=6。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15limx>0
sinx-xcosx2T7"
xsinx
解:
sinx—xcosxcosx-(cosx-xsinx)
原式=lim2lim尸x>0xxxQ3x例18
=lim
x>0
xsinx
3x2
lim[1-
x>0xln(1x)
..「11cx—，0-x
解：错误解法：原式=lim[———]=0。
cx
正确解法：
ln(1x)-xln(1x)-x
原式=lim=limx夕xln(1x)x)0xx1「1x「x1=lim-——=lim=-ox>02xx>02x（1x）2
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19lim
x-2sinx
xr3xcosx
„-、……0……1-2cosx,”解：易见：该极限是“一”型，但用洛比达法则后得到：lim,此极限0x广3-sinx不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:
/2sinx1x
原式=lim(分子、分母同时除以x)x八ccosx3x1………可-（利用定理1和定理2）
=侦2,x^=/2+xn,(n=1,2，…)，求limxn解：易证：数列｛xn｝单调递增，且有界（0<xn<2），由准则1极限limxn存在,n设limxn=a。对已知的递推公式xn书=（2十xn两边求极限，得：
a=J2+a，解得：a=2或a=—1（不合题意，舍去）所以limxn=2。
n…111、例21lim()
n「.:
口n1易见：：:：
.?1+-+■
.n22
因为limn)：:
..n,lim1n‘二，n211所以由准则2得：lim(—===+.o+,n22+1)=1。
n2n
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习,在练习中体会